莱布尼茨函数

在仿射几何和欧氏几何中，莱布尼茨向量和标量函数是把点对应到向量或数量的函数。这种函数和重心关系密切；用重心可以给出函数的简洁形式。

莱布尼茨向量函数

考虑仿射空间${\displaystyle E}$和相伴的向量空间${\displaystyle V}$。设${\displaystyle (A_{i})_{i=1\cdots n}}$是${\displaystyle n}$点的族，${\displaystyle (a_{i})_{i=1\cdots n}}$是${\displaystyle n}$数量的族。与系统${\displaystyle \left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}}$相伴的莱布尼茨向量函数是从${\displaystyle E}$到${\displaystyle V}$的映射，把点${\displaystyle M}$对应到向量${\displaystyle {\vec {f}}(M)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {MA_{i}}}}$。

设系数和${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}}$为零，那么函数是常值。如果有一个系数非零（例如${\displaystyle a_{1}}$），这常值等于${\displaystyle a_{1}{\overrightarrow {G_{1}A_{1}}}}$，其中${\displaystyle G_{1}}$是系统${\displaystyle \left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=2\cdots n}\right\}}$的重心。

设系数和非零，函数可化简成

${\displaystyle {\vec {f}}(M)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right){\overrightarrow {MG}}}$

这个性质使得多个向量的线性组合可以借由重心化简成一个向量。如果向量空间是有限维，由此可以给出重心的座标。

其实${\displaystyle {\overrightarrow {OG}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}{\vec {f}}(O)={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {OA_{i}}}}$。

把上式转为座标就是

${\displaystyle x_{G,k}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{A_{i},k}}$

莱布尼茨标量函数

考虑欧几里得仿射空间${\displaystyle E}$和相伴的域${\displaystyle \mathbb {K} }$。设${\displaystyle (A_{i})_{i=1\cdots n}}$是${\displaystyle n}$点的族，${\displaystyle (a_{i})_{i=1\cdots n}}$是${\displaystyle n}$数量的族。与系统${\displaystyle \left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}}$相伴的莱布尼茨标量函数，是从${\displaystyle E}$到${\displaystyle \mathbb {K} }$的映射，把点M对应到数量${\displaystyle f(M)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}MA_{i}^{2}}$。

设系数和${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}}$为零，那么函数可化简成

${\displaystyle f(M)=f(O)+2{\overrightarrow {MO}}\cdot {\vec {u}}}$

其中${\displaystyle {\vec {u}}}$等于与这系统相伴的莱布尼茨向量函数的常值，${\displaystyle O}$是任意固定点。

设系数和非零，那么函数可化简成

${\displaystyle f(M)=f(G)+\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)MG^{2}}$

其中${\displaystyle G}$是系统${\displaystyle \left\{\left(A_{i},a_{i}\right)_{i=1\cdots n}\right\}}$的重心。

这个化简令点的位置问题可以很容易解决（见莱布尼茨定理）。

例：在2维情形，集${\displaystyle M}$适合${\displaystyle f(M)=k}$的是

• 当系数和为零
  • 与${\displaystyle {\vec {u}}}$垂直的直线，如果${\displaystyle {\vec {u}}}$非零
  • 整个平面或空集（取决于${\displaystyle k}$的值），如果${\displaystyle {\vec {u}}}$为零
• 当系数和非零
  • 圆心为${\displaystyle G}$的圆，点${\displaystyle G}$或空集（取决于${\displaystyle k}$的值）

参见

• 莱布尼茨定理
• 重心 (仿射几何)