西尔维斯特数列

西尔维斯特数列的定义为${\displaystyle s_{n}=1+\prod _{i=0}^{n-1}s_{i}}$。当${\displaystyle n=0}$，由于空积（一个空集内所有元素的积）是${\displaystyle 1}$，所以${\displaystyle s_{0}=2}$，之后是${\displaystyle 3,7,43,1807,3263443,10650056950807,113423713055421844361000443...}$（OEIS:A000058）

这亦可以用递归定义：${\displaystyle s_{i}=s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1,s_{0}=2}$。

以数学归纳法可证明${\displaystyle \sum _{i=0}^{j-1}{\frac {1}{s_{i}}}={\frac {s_{j}-2}{s_{j}-1}}}$。

“求${\displaystyle k}$个埃及分数，使它们之和最接近${\displaystyle 1}$而又小于${\displaystyle 1}$。”答案就是这数列中首${\displaystyle k}$个数的倒数之和。[1]因此，西尔维斯特数列又可以贪婪算法来定义：每步选取的一个分母，使得对应的埃及分数再加上之前的和最接近1而又少于1。

西尔维斯特数列可以表示为${\displaystyle s_{n}=\left\lfloor E^{2^{n+1}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$，其中E约为1.264。这和费马数很相似。

这数列以詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特命名。

和为有理数且快速增长的唯一性

若有数列 ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n-1}^{2}-a_{n-1}+1}$ 且 ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{a_{i}}}\in \mathbb {Q} }$，则必存在${\displaystyle N}$使得对于${\displaystyle i>N}$，${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}^{2}-a_{n-1}+1}$。^[1]

保罗·艾狄胥猜想上面的不等式可以改为更弱的条件${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{a_{n-1}^{2}}}=1}$。

质数

显然两个相异的西尔维斯特数必定互质。在首三百万个质数只有1166个是西尔维斯特数列的因数。^[2]现时所知的西尔维斯特数中，都是无平方数因数的数，但未有证明所有西尔维斯特数都是。西尔维斯特数的质因数在质数集的密度为0。[2]