西尔维斯特方程

西尔维斯特方程（英语：Sylvester equation）是控制理论中的矩阵方程，形式如下^[1]：

${\displaystyle AX+XB=C.}$

其中${\displaystyle A_{n\times n}}$、${\displaystyle B_{m\times m}}$及${\displaystyle C_{n\times m}}$是已知矩阵，n与m可以相等。方程中所有矩阵的系数都是复数。西尔维斯特方程有唯一解X的充要条件是A与-B没有共同的特征值。

AX+XB=C也可以视为是（可能无穷维中）巴拿赫空间中有界算子的方程。此情形下，唯一解X的充份必要条件几乎相同：唯一解X的充份必要条件是A和-B的谱不互交^[2]。

解的存在及唯一

利用克罗内克积以及向量化量子（英语：Vectorization (mathematics)）${\displaystyle \operatorname {vec} }$，可以改写西尔维斯特方程为

${\displaystyle (I_{m}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,}$

其中${\displaystyle I_{k}}$为${\displaystyle k\times k}$单位矩阵。在此形式下，可以将问题改为${\displaystyle mn\times mn}$维的线性系统^[3]。

命题

假定复数的${\displaystyle n\times n}$矩阵${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$，西尔维斯特方程针对任意${\displaystyle C}$有唯一解${\displaystyle X}$，若且唯 若${\displaystyle A}$和${\displaystyle -B}$没有共同的特征值。

证明

考虑线性转换${\displaystyle S:M_{n}\rightarrow M_{n}}$，${\displaystyle X\mapsto AX+XB}$.

(i)假设${\displaystyle A}$和${\displaystyle -B}$没有共同的特征值，则其特征方程式 ${\displaystyle f(z)}$和${\displaystyle g(z)}$的最大公因式为${\displaystyle 1}$，因此存在复数多项式${\displaystyle p(z)}$和${\displaystyle q(z)}$，使得${\displaystyle p(z)f(z)+q(z)g(z)=1}$。依照Cayley–Hamilton定理，${\displaystyle f(A)=0=g(-B)}$；因此${\displaystyle g(A)q(A)=I}$。令${\displaystyle X}$为${\displaystyle S(X)=0}$的解，则${\displaystyle AX=-XB}$，重复上述作法，可得${\displaystyle X=q(A)g(A)X=q(A)Xg(-B)=0}$。因此依照秩－零化度定理，${\displaystyle S}$是可逆的，因此针对所有的${\displaystyle C}$都存在唯一的解${\displaystyle X}$。

(ii) 相对的，若假设${\displaystyle s}$是${\displaystyle A}$和${\displaystyle -B}$的共同特征值，则${\displaystyle {\bar {s}}}$也是${\displaystyle A^{H}}$的特征值。存在非零向量 ${\displaystyle v}$和${\displaystyle w}$使得${\displaystyle A^{H}w={\bar {s}}w}$以及${\displaystyle Bv=-sv}$。选择${\displaystyle C}$使得${\displaystyle Cv=w}$，则${\displaystyle AX+XB=C}$没有解${\displaystyle X}$，考虑 ${\displaystyle \langle (AX+XB)v,w\rangle =\langle Cv,w\rangle =\langle w,w\rangle }$，等号的右边为正值；而左侧因为伴随变换的性质为零,即 ${\displaystyle \langle (AX+XB)v,w\rangle =\langle Xv,A^{H}w\rangle -s\langle Xv,w\rangle =s\langle Xv,w\rangle -s\langle Xv,w\rangle =0}$。

Roth消去法则

假设二个大小分别为n和m的方阵A和B，以及大小为n乘m的矩阵C，则可以确认以下二个大小为n+m的方阵${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}}$和${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}}$是否彼此相似。这二个矩阵相似的条件是存在一矩阵X使得AX-XB=C，换句话说，X为西尔维斯特方程的解，这称为Roth消去法则（Roth's removal rule）^[4]。

可以用以下方式检查，若AX-XB=C，则

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{n}&X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{n}&-X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}.}$

Roth消去法则无法延伸到巴拿赫空间中的无穷维有界算子中^[5]。

数值解

西尔维斯特方程数值解的经典算法是Bartels–Stewart算法，利用QR算法（英语：QR algorithm）将矩阵${\displaystyle A}$和矩阵${\displaystyle B}$转换为舒尔形式，再用逆向取代法求解三角矩阵。此算法若用LAPACK计算，或是GNU Octave的lyap函数计算^[6]，计算复杂度是${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}$个数学运算^{[来源请求]}。也可以参考其中的sylvester函数^[7][8]。在一些特定的影像处理应用中，西尔维斯特方程会有解析解^[9]。

相关条目

• 李亚普诺夫方程
• 代数Riccati方程