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西尔维斯特方程

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西尔维斯特方程(英语:Sylvester equation)是控制理论中的矩阵方程,形式如下[1]

其中是已知矩阵,n与m可以相等。方程中所有矩阵的系数都是复数。西尔维斯特方程有唯一解X的充要条件是A-B没有共同的特征值。

AX+XB=C也可以视为是(可能无穷维中)巴拿赫空间有界算子的方程。此情形下,唯一解X的充份必要条件几乎相同:唯一解X的充份必要条件是A-B不互交[2]

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解的存在及唯一

利用克罗内克积以及向量化量子英语Vectorization (mathematics),可以改写西尔维斯特方程为

其中单位矩阵。在此形式下,可以将问题改为维的线性系统[3]

命题

假定复数的矩阵,西尔维斯特方程针对任意有唯一解,若且唯 若没有共同的特征值。

证明

考虑线性转换.

(i)假设没有共同的特征值,则其特征方程式 的最大公因式为,因此存在复数多项式,使得。依照Cayley–Hamilton定理,;因此。令的解,则,重复上述作法,可得。因此依照秩-零化度定理是可逆的,因此针对所有的都存在唯一的解

(ii) 相对的,若假设的共同特征值,则也是的特征值。存在非零向量 使得以及。选择使得,则没有解,考虑 ,等号的右边为正值;而左侧因为伴随变换的性质为零,即

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Roth消去法则

假设二个大小分别为nm的方阵AB,以及大小为nm的矩阵C,则可以确认以下二个大小为n+m的方阵是否彼此相似。这二个矩阵相似的条件是存在一矩阵X使得AX-XB=C,换句话说,X为西尔维斯特方程的解,这称为Roth消去法则(Roth's removal rule)[4]

可以用以下方式检查,若AX-XB=C,则

Roth消去法则无法延伸到巴拿赫空间中的无穷维有界算子中[5]

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数值解

西尔维斯特方程数值解的经典算法是Bartels–Stewart算法,利用QR算法英语QR algorithm将矩阵和矩阵转换为舒尔形式,再用逆向取代法求解三角矩阵。此算法若用LAPACK计算,或是GNU Octavelyap函数计算[6],计算复杂度是个数学运算[来源请求]。也可以参考其中的sylvester函数[7][8]。在一些特定的影像处理应用中,西尔维斯特方程会有解析解[9]

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脚注

参考资料

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