利用克罗内克积以及向量化量子
,可以改写西尔维斯特方程为

其中
为
单位矩阵。在此形式下,可以将问题改为
维的线性系统[3]。
- 命题
假定复数的
矩阵
和
,西尔维斯特方程针对任意
有唯一解
,若且唯
若
和
没有共同的特征值。
- 证明
考虑线性转换
,
.
(i)假设
和
没有共同的特征值,则其特征方程式
和
的最大公因式为
,因此存在复数多项式
和
,使得
。依照Cayley–Hamilton定理,
;因此
。令
为
的解,则
,重复上述作法,可得
。因此依照秩-零化度定理,
是可逆的,因此针对所有的
都存在唯一的解
。
(ii) 相对的,若假设
是
和
的共同特征值,则
也是
的特征值。存在非零向量
和
使得
以及
。选择
使得
,则
没有解
,考虑
,等号的右边为正值;而左侧因为伴随变换的性质为零,即
。