解析延拓

解析延拓（英语：Analytic continuation）是数学上将解析函数从较小定义域拓展到更大定义域的方法。透过此方法，一些原先发散的级数在新的定义域可具有迥异而有限的值。其中最知名的例子为Γ函数与黎曼ζ函数。

初步阐述

自然对数虚部之解析延拓

若f为一解析函数，定义于复平面C中之一开子集 U，而V是C中一更大且包含U之开子集。F为定义于V之解析函数，并使

${\displaystyle \displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,}$

则F称为f之解析延拓。换过来说，将F函数限制在U则得到原先的f函数。

解析延拓具有唯一性：

若V为两解析函数F₁及F₂的连通定义域，并使V包含U；若在U中所有的z使得

F₁(z) = F₂(z) = f(z)，

则在V中所有点

F₁ = F₂。

此乃因 F₁ − F₂亦为一解析函数，其值于f的开放连通定义域U上为0，必导致整个定义域上的值皆为0。此为全纯函数之惟一性定理的直接结果。

应用

在复分析处理过程中定义函数的通常做法是，首先在较小的定义域中具体定义函数，然后通过解析延拓将其扩展到指定范围。在实际操作中，为了实现函数的连续性，我们需要在较小的定义域中建立函数方程， 然后通过这个方程拓展定义域。例如黎曼ζ函数和Γ函数。全覆盖的概念最早用来定义解析函数解析延拓之后的自然定义域。寻找函数解析延拓后的最大定义域的想法最后导致了黎曼面的诞生。

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