解析延拓

解析延拓（英语：Analytic continuation）是数学上将解析函数从较小定义域拓展到更大定义域的方法。透过此方法，一些原先发散的级数在新的定义域可具有迥异而有限的值。其中最知名的例子为Γ函数与黎曼ζ函数。

初步阐述

自然对数虚部之解析延拓

若 ${\displaystyle f}$ 为一解析函数，定义于复平面 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 中之一开子集 ${\displaystyle U}$，而 ${\displaystyle V}$ 是 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 中一更大且包含 ${\displaystyle U}$ 之开子集。${\displaystyle F}$ 为定义于 ${\displaystyle V}$ 之解析函数，并使

${\displaystyle \displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,}$

则 ${\displaystyle F}$ 称为 ${\displaystyle f}$ 之解析延拓。换过来说，将 ${\displaystyle F}$ 函数限制在 ${\displaystyle U}$ 则得到原先的f函数。

解析延拓具有唯一性：

若 ${\displaystyle V}$ 为两解析函数 ${\displaystyle F_{1}}$ 及 ${\displaystyle F_{2}}$ 的连通定义域，并使 ${\displaystyle V}$ 包含 ${\displaystyle U}$ ；若在 ${\displaystyle U}$ 中所有的 ${\displaystyle z}$ 使得

${\displaystyle F_{1}(z)=F_{2}(z)=f(z)}$，

则在 ${\displaystyle V}$ 中所有点

${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$。

此乃因 ${\displaystyle F_{1}-F_{2}}$ 亦为一解析函数，其值于 ${\displaystyle f}$ 的开放连通定义域 ${\displaystyle U}$ 上为0，必导致整个定义域上的值皆为0。此为全纯函数之惟一性定理的直接结果。

应用

在复分析处理过程中定义函数的通常做法是，首先在较小的定义域中具体定义函数，然后通过解析延拓将其扩展到指定范围。在实际操作中，为了实现函数的连续性，我们需要在较小的定义域中建立函数方程， 然后通过这个方程拓展定义域。例如黎曼ζ函数和Γ函数。全覆盖的概念最早用来定义解析函数解析延拓之后的自然定义域。寻找函数解析延拓后的最大定义域的想法最后导致了黎曼面的诞生。

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