谢尔宾斯基三角形

谢尔宾斯基三角形（英语：Sierpinski triangle）是一个分形，在二十世纪初以波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基命名，但这类图案曾广泛地出现十三世纪科斯马蒂（英语：Cosmatesque）式的石雕装饰上。^[1]它是自相似集的例子。

三维版本的谢尔宾斯基三角形

谢尔宾斯基三角形，它的豪斯多夫维是log(3)/log(2) ≈ 1.585。

构造

去掉中心

1. 取一个实心的三角形。（多数使用等边三角形）
2. 沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形。
3. 去掉中间的那一个小三角形。
4. 对其余每个三个小三角形重复1。

取其他形状，如一个正方形，用类似的方法构造，也会得到类近谢尔宾斯基三角形的图案：

混沌游戏

动画展示由混沌游戏得到的谢尔宾斯基三角形

用随机的方法（Chaos Game（英语：Chaos_game）），都可得到谢尔宾斯基三角形：

1. 取平面上三点A,B,C，组成一三角形
2. 任意取三角形 ABC内的一点
3. 画出 P和三角形其中一个顶点的中点，并将P移动到这个点
4. 重复3

L系统

下图展示了曲线如何逼近谢尔宾斯基三角形。

这条曲线以L系统来记述为：

变数: A , B

常数: + , -

公理: A

规则:

A → B-A-B

B → A+B+A

• A,B ： 向前
• - ： 左转60°
• + ： 右转60°

性质

对整数维度 ${\displaystyle d}$ ，将一个物体每边都放大一倍时，物体的体积会增大 ${\displaystyle 2^{d}}$ 倍。对谢尔宾斯基三角形，将它放大一倍会得到三个与原图案一样大小的三角形，因此它的豪斯多夫维是${\displaystyle {\frac {\log 3}{\log 2}}\approx 1.585}$。

谢尔宾斯基三角形的面积为零（见勒贝格测度）。每一次迭代后图案的面积都是原来的 ${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$，无穷迭代令该面积收敛于零。^[2]