谢泼德引理

谢泼德引理（Shephard's lemma）是微观经济学中的一个重要结论，在生产者理论和消费者理论等领域中都有所应用。

具体描述

在消费者理论中，谢泼德引理指出，对于给定的效用水平${\displaystyle u}$和给定的各产品价格${\displaystyle \mathbf {p} }$，某种产品${\displaystyle i}$的需求量恰等于支出函数对其价格求偏导的结果：

${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)={\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{i}}}}$，

其中${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)}$为产品${\displaystyle i}$的希克斯需求函数（英语：Hicksian demand function），${\displaystyle e(\mathbf {p} ,u)}$为消费者的支出函数。

证明

通过带等式约束的包络定理即可证明：

${\displaystyle {\frac {\partial {e}}{\partial {p_{i}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {p_{i}}}}=x_{i}^{h}}$，

其中${\displaystyle {\mathcal {L}}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} +\lambda (u-U(\mathbf {x} ))}$为拉格朗日乘数，${\displaystyle x_{i}^{h}}$为使支出最小的需求量，也即希克斯需求函数。

参见

• 罗伊恒等式

参考文献