费马原理

费马原理（英语：Fermat's principle）最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出：光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是极大值、极小值或函数的拐点。 ^[1]最初提出时，又名“最短时间原理”：光线传播的路径是需时最少的路径^[2]。

皮埃尔·德·费马

费马原理更正确的称谓应是“平稳时间原理”：光沿着所需时间为平稳的路径传播。平稳是数学上的微分概念，可以理解为一阶导数为零，它可以是极大值、极小值甚至是拐点。

费马原理是几何光学的基本定理。用微分或变分法可以从费马原理导出以下三个几何光学定律：

1. 光线在真空中的直线传播。
2. 光的反射定律 - 光线在界面上的反射， 入射角必须等于出射角。
3. 光的折射定律（斯涅尔定律）。

最短光时线可以有多条，例如光线从椭圆面焦点A经过反射到另一焦点B，可以有无数条路径，所有这些路径的光线传播时间都相等。

概述

光线从点Q传播至点O时，会被半圆形或混合形镜子反射，最终抵达点P。

费马原理更正确的版本应是“平稳时间原理”。对于某些状况，光线传播的路径所需的时间可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。^[1]

• 平面镜：任意两点的反射路径光程是最小值。
• 半椭圆形镜子：其两个焦点的光线反射路径不是唯一的，光程都一样，是最大值，也是最小值。
• 半圆形镜子：其两个端点${\displaystyle Q}$、${\displaystyle P}$的反射路径光程是最大值。
• 如最右图所示，对于由四分之一圆形镜与平面镜组合而成的镜子，同样这两个点${\displaystyle Q}$、${\displaystyle P}$的反射路径的光程是拐值。

光的反射

平面反射

光在平面上的反射

平面反射的光程

光从${\displaystyle P}$点出发射向${\displaystyle x}$点，反射到${\displaystyle Q}$点。

${\displaystyle P}$点到${\displaystyle x}$点的距离 ${\displaystyle d1={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}$

${\displaystyle Q}$点 到${\displaystyle x}$点的距离 ${\displaystyle d2={\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}$

从点${\displaystyle P}$到点${\displaystyle Q}$的光程${\displaystyle D}$为

${\displaystyle D={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}$ 。

根据费马原理，光线在真空中传播的路径是光程为极值的路径。

取光程 ${\displaystyle D}$ 对 ${\displaystyle x}$ 的导数，令其为零：

${\displaystyle D'={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}$${\displaystyle +{\frac {-l+x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}=0}$ 。

但其中

${\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}}$

${\displaystyle -{\frac {l-x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}=-\sin \theta _{2}}$ 。

即

${\displaystyle \sin \theta _{1}-\sin \theta _{2}=0}$

${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}}$

这就是反射定律

半球面反射

光线从点${\displaystyle Q}$传播至点${\displaystyle O}$时，会被半圆形镜子反射，最终抵达点${\displaystyle P}$。

${\displaystyle R=5}$半圆镜的反射点在圆的顶点，光程最长${\displaystyle =2.82R}$

球面的半径${\displaystyle =R}$

光线从直径一端${\displaystyle Q}$射向球面，反射到直径另一端${\displaystyle P}$

光程${\displaystyle D={\sqrt {y^{2}+(R+x)^{2}}}+{\sqrt {y^{2}+(-x+R)^{2}}}}$

因${\displaystyle y^{2}=R^{2}-x^{2}}$;

所以

${\displaystyle D={\sqrt {2R^{2}+2xR}}+{\sqrt {-2xR+2R^{2}}}}$

根据费马原理，${\displaystyle D'=0}$

${\displaystyle D'={\frac {R}{\sqrt {2R^{2}+2xR}}}-{\frac {R}{\sqrt {-2xR+2R^{2}}}}=0}$

解之， 得 ${\displaystyle x=0}$，代入${\displaystyle D}$得到：

光程${\displaystyle D=2{\sqrt {2}}R}$，乃是一个最大值${\displaystyle =2.8R}$；（最小值光程是从直径一端到${\displaystyle Q}$另一端${\displaystyle P}$，光程${\displaystyle =2R}$）

光的折射

光线从介质1的点${\displaystyle Q}$，在点${\displaystyle O}$传播进入介质2，发生折射，最后抵达介质2的点${\displaystyle P}$。

如右图所示，设定介质1、介质2的折射率分别为 ${\displaystyle n_{1}}$ 、${\displaystyle n_{2}}$ ，光线从介质1在点${\displaystyle O}$传播进入介质2，则斯涅尔定律以方程表达为

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}$ ；

其中，${\displaystyle \theta _{1}}$ 为入射角，${\displaystyle \theta _{2}}$ 为折射角。

从费马原理，可以推导出斯涅尔定律。光线在介质1与介质2的速度 ${\displaystyle v_{1}}$ 和 ${\displaystyle v_{2}}$ 分别为

${\displaystyle v_{1}={\frac {c}{n_{1}}}}$ 、

${\displaystyle v_{2}={\frac {c}{n_{2}}}}$ ；

其中，${\displaystyle c}$ 是真空光速。

由于介质会减缓光线的速度，折射率 ${\displaystyle n_{1}}$ 和 ${\displaystyle n_{2}}$ 都大于 ${\displaystyle 1}$ 。

从点Q到点P的传播时间 ${\displaystyle T}$ 为

${\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}}$ 。

根据费马原理，光线传播的路径是所需时间为极值的路径，取传播时间 ${\displaystyle T}$ 对 ${\displaystyle x}$ 的导数，设定其为零：

${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(l-x)}{v_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}}=0}$ 。

其中 ${\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}}$

${\displaystyle {\frac {(l-x)}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}=\sin \theta _{2}}$

因此得到传播速度与折射角的关系式：

${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0}$ 。

将传播速度与折射率的关系式代入，就会得到斯涅尔定律：

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}$ 。

运动学

主条目：最速降线问题

伯努利家族的约翰·伯努利在解决最速降线问题时曾利用到费马原理。^[3]他将小球运动类比作光线的运动，从而得出最速降线为摆线。

参阅

• 费马
• 哈密顿原理
• 最小作用量原理
• 路径积分表述
• 惠更斯－菲涅耳原理