贵金属比例

贵金属比例、贵金属分割（英语：metallic ratio）定义为

${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}:1}$（n为自然数）

所表示的比率。

随${\displaystyle n}$值的不同，又称为第${\displaystyle n}$贵金属比例、第${\displaystyle n}$贵金属分割。特别地，第1贵金属比例${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}:1}$称为黄金比例、第2贵金属比例${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}:1}$称为白银比例、第3贵金属比例${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}:1}$称为青铜比例。 ^[1]

贵金属数

贵金属数

0	${\displaystyle {\frac {0+{\sqrt {4}}}{2}}}$	1	1
1	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$	1.6180339887...
2	${\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {8}}}{2}}}$	${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$	2.4142135623...
3	${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}$	3.3027756377...
4	${\displaystyle {\frac {4+{\sqrt {20}}}{2}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {5}}}$	4.2360679774...
5	${\displaystyle {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}}$	5.1925824035...
6	${\displaystyle {\frac {6+{\sqrt {40}}}{2}}}$	${\displaystyle 3+{\sqrt {10}}}$	6.1622776601...
7	${\displaystyle {\frac {7+{\sqrt {53}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {7+{\sqrt {53}}}{2}}}$	7.1400549446...
8	${\displaystyle {\frac {8+{\sqrt {68}}}{2}}}$	${\displaystyle 4+{\sqrt {17}}}$	8.1231056256...
9	${\displaystyle {\frac {9+{\sqrt {85}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {9+{\sqrt {85}}}{2}}}$	9.1097722286...
n	${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}$

贵金属数是

${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}$

即二次方程式${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$的正根。

连分数

贵金属数的连分数表示是：

${\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]}$

数列的商的极限

黄金数（第1贵金属数）是斐波那契数列相邻两项的比的极限，白银数（第2贵金属数）是佩尔数列相邻两项的比的极限；一般地，也存在以第${\displaystyle n}$贵金属数为相邻两项的比的极限的数列。

数列${\displaystyle \{M_{k}\}}$的递推关系式

${\displaystyle M_{0}=0,\quad M_{1}=1,\quad M_{k+2}=nM_{k+1}+M_{k}}$

一旦定义了此关系式，则在此之中，第${\displaystyle n}$贵金属数为${\displaystyle \mu }$，有

${\displaystyle M_{k}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\mu +\mu ^{-1}}}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\sqrt {n^{2}+4}}}}$

成立。在这种情况下，这个序列的两个相邻项的商数在${\displaystyle K\rightarrow \infty }$收敛于${\displaystyle \mu }$。即

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {M_{k+1}}{M_{k}}}=\mu }$

成立。