费马伪素数

费马伪素数（英语：Fermat pseudoprime）是指满足费马小定理的伪素数，也是最重要的一类伪素数。

其定义是：对自然数${\displaystyle x}$和一个与其互素的自然数a，如果${\displaystyle x}$整除 a^x-1 - 1，则称${\displaystyle x}$是一个以a为底的费马伪素数或者关于a的费马伪素数。最小的费马伪素数是341（=11×31，关于2）。如果${\displaystyle x}$关于任何与其互素的数都是费马伪素数，则称${\displaystyle x}$是绝对伪素数（或卡迈克尔数，来自找到第一个绝对伪素数的数学家罗伯特·丹尼·卡迈克尔）。最小的绝对伪素数是561。

有人已经证明了费马伪素数的个数是无穷的。有一位数学家如此评论：“对于素数，费马小定理肯定是正确的；但他没说在合数中就不正确。”事实上，费马小定理给出的是关于素数判定的必要不充分条件。

另外，若:${\displaystyle {\frac {\Phi _{n}(2)}{\gcd(\Phi _{n}(2),n)}}}$不是素数（如下表中的情况），则它就一定是伪素数。 这些当中包含了所有的费马合数（当n=2^k），梅森合数(当n=p)及瓦格斯塔夫合数（当n=2p）

分圆多项式阶数n	伪素数
11	2047=23x89
23	8388607=47x178481
25	1082401=601x1801
28	3277=29x113
29	536870911=233x1103x2089
35	8727391=71x122921
36	4033=37x109
37	137438953471=223x616318177
39	9588151=79x121369

费马伪素数年表

• 1819年，萨鲁斯（Sarrus）发现第一个伪素数341
• 1903年，马洛（Malo）证明：若n为伪素数，则${\displaystyle m=2^{n}-1}$也是一个伪素数，从而肯定了伪素数的个数是无穷的。
• 1950年，发现第一个偶伪素数 ${\displaystyle 161038=2\times 73\times 1103}$。
• 1951年，皮格（Beeger）证明了存在无限多个偶伪素数。

以2为底的前50个费马伪素数

（OEIS数列A001567）

n		n		n		n		n
1	341 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 11\times 31}$	11	2821 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 7\times 13\times 31}$	21	8481 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3\times 11\times 257}$	31	15709 = 23 · 683	41	30121 = 7 · 13 · 331
2	561 = 3 · 11 · 17	12	3277 = 29 · 113	22	8911 = 7 · 19 · 67	32	15841 = 7 · 31 · 73	42	30889 = 17 · 23 · 79
3	645 = 3 · 5 · 43	13	4033 = 37 · 109	23	10261 = 31 · 331	33	16705 = 5 · 13 · 257	43	31417 = 89 · 353
4	1105 = 5 · 13 · 17	14	4369 = 17 · 257	24	10585 = 5 · 29 · 73	34	18705 = 3 · 5 · 29 · 43	44	31609 = 73 · 433
5	1387 = 19 · 73	15	4371 = 3 · 31 · 47	25	11305 = 5 · 7 · 17 · 19	35	18721 = 97 · 193	45	31621 = 103 · 307
6	1729 = 7 · 13 · 19	16	4681 = 31 · 151	26	12801 = 3 · 17 · 251	36	19951 = 71 · 281	46	33153 = 3 · 43 · 257
7	1905 = 3 · 5 · 127	17	5461 = 43 · 127	27	13741 = 7 · 13 · 151	37	23001 = 3 · 11 · 17 · 41	47	34945 = 5 · 29 · 241
8	2047 = 23 · 89	18	6601 = 7 · 23 · 41	28	13747 = 59 · 233	38	23377 = 97 · 241	48	35333 = 89 · 397
9	2465 = 5 · 17 · 29	19	7957 = 73 · 109	29	13981 = 11 · 31 · 41	39	25761 = 3 · 31 · 277	49	39865 = 5 · 7 · 17 · 67
10	2701 = 37 · 73	20	8321 = 53 · 157	30	14491 = 43 · 337	40	29341 = 13 · 37 · 61	50	41041 = 7 · 11 · 13 · 41

以任意整数为底的最小费马伪素数

（OEIS数列A007535）

a	最小的伪素数	a	最小的伪素数	a	最小的伪素数	a	最小的伪素数
1	4 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 2^{2}}$	51	65 = 5 · 13	101	175 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 5^{2}\times 7}$	151	175 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 5^{2}\times 7}$
2	341 = 11 · 31	52	85 = 5 · 17	102	133 = 7 · 19	152	153 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{2}\times 17}$
3	91 = 7 · 13	53	65 = 5 · 13	103	133 = 7 · 19	153	209 = 11 · 19
4	15 = 3 · 5	54	55 = 5 · 11	104	105 = 3 · 5 · 7	154	155 = 5 · 31
5	124 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 2^{2}\times 31}$	55	63 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{2}\times 7}$	105	451 = 11 · 41	155	231 = 3 · 7 · 11
6	35 = 5 · 7	56	57 = 3 · 19	106	133 = 7 · 19	156	217 = 7 · 31
7	25 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 5^{2}}$	57	65 = 5 · 13	107	133 = 7 · 19	157	186 = 2 · 3 · 31
8	9 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{2}}$	58	133 = 7 · 19	108	341 = 11 · 31	158	159 = 3 · 53
9	28 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 2^{2}\times 7}$	59	87 = 3 · 29	109	117 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{2}\times 13}$	159	247 = 13 · 19
10	33 = 3 · 11	60	341 = 11 · 31	110	111 = 3 · 37	160	161 = 7 · 23
11	15 = 3 · 5	61	91 = 7 · 13	111	190 = 2 · 5 · 19	161	190 = 2 · 5 · 19
12	65 = 5 · 13	62	63 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{2}\times 7}$	112	121 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 11^{2}}$	162	481 = 13 · 37
13	21 = 3 · 7	63	341 = 11 · 31	113	133 = 7 · 19	163	186 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 2\times 3\times 31}$
14	15 = 3 · 5	64	65 = 5 · 13	114	115 = 5 · 23	164	165 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3\times 5\times 11}$
15	341 = 11 · 31	65	112 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 2^{4}\times 7}$	115	133 = 7 · 19	165	172 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 2^{2}\times 43}$
16	51 = 3 · 17	66	91 = 7 · 13	116	117 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{2}\times 13}$	166	301 = 7 · 43
17	45 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{2}\times 5}$	67	85 = 5 · 17	117	145 = 5 · 29	167	231 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3\times 7\times 11}$
18	25 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 5^{2}}$	68	69 = 3 · 23	118	119 = 7 · 17	168	169 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 13^{2}}$
19	45 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{2}\times 5}$	69	85 = 5 · 17	119	177 = 3 · 59	169	231 = 3 · 7 · 11
20	21 = 3 · 7	70	169 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 13^{2}}$	120	121 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 11^{2}}$	170	171 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{2}\times 19}$
21	55 = 5 · 11	71	105 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3\times 5\times 7}$	121	133 = 7 · 19	171	215 = 5 · 43
22	69 = 3 · 23	72	85 = 5 · 17	122	123 = 3 · 41	172	247 = 13 · 19
23	33 = 3 · 11	73	111 = 3 · 37	123	217 = 7 · 31	173	205 = 5 · 41
24	25 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 5^{2}}$	74	75 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3\times 5^{2}}$	124	125 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 5^{3}}$	174	175 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 5^{2}\times 7}$
25	28 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 2^{2}\times 7}$	75	91 = 7 · 13	125	133 = 7 · 19	175	319 = 11 · 29
26	27 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{3}}$	76	77 = 7 · 11	126	247 = 13 · 19	176	177 = 3 · 59
27	65 = 5 · 13	77	247 = 13 · 19	127	153 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{2}\times 17}$	177	196 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 2^{2}\times 7^{2}}$
28	45 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{2}\times 5}$	78	341 = 11 · 31	128	129 = 3 · 43	178	247 = 13 · 19
29	35 = 5 · 7	79	91 = 7 · 13	129	217 = 7 · 31	179	185 = 5 · 37
30	49 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 7^{2}}$	80	81 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{4}}$	130	217 = 7 · 31	180	217 = 7 · 31
31	49 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 7^{2}}$	81	85 = 5 · 17	131	143 = 11 · 13	181	195 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3\times 5\times 13}$
32	33 = 3 · 11	82	91 = 7 · 13	132	133 = 7 · 19	182	183 = 3 · 61
33	85 = 5 · 17	83	105 = 3 · 5 · 7	133	145 = 5 · 29	183	221 = 13 · 17
34	35 = 5 · 7	84	85 = 5 · 17	134	135 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{3}\times 5}$	184	185 = 5 · 37
35	51 = 3 · 17	85	129 = 3 · 43	135	221 = 13 · 17	185	217 = 7 · 31
36	91 = 7 · 13	86	87 = 3 · 29	136	265 = 5 · 53	186	187 = 11 · 17
37	45 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{2}\times 5}$	87	91 = 7 · 13	137	148 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 2^{2}\times 37}$	187	217 = 7 · 31
38	39 = 3 · 13	88	91 = 7 · 13	138	259 = 7 · 37	188	189 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{3}\times 7}$
39	95 = 5 · 19	89	99 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{2}\times 11}$	139	161 = 7 · 23	189	235 = 5 · 47
40	91 = 7 · 13	90	91 = 7 · 13	140	141 = 3 · 47	190	231 = 3 · 7 · 11
41	105 = 3 · 5 · 7	91	115 = 5 · 23	141	355 = 5 · 71	191	217 = 7 · 31
42	205 = 5 · 41	92	93 = 3 · 31	142	143 = 11 · 13	192	217 = 7 · 31
43	77 = 7 · 11	93	301 = 7 · 43	143	213 = 3 · 71	193	276 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 2^{2}\times 3\times 23}$
44	45 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{2}\times 5}$	94	95 = 5 · 19	144	145 = 5 · 29	194	195 = 3 · 5 · 13
45	76 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 2^{2}\times 19}$	95	141 = 3 · 47	145	153 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{2}\times 17}$	195	259 = 7 · 37
46	133 = 7 · 19	96	133 = 7 · 19	146	147 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3\times 7^{2}}$	196	205 = 5 · 41
47	65 = 5 · 13	97	105 = 3 · 5 · 7	147	169 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 13^{2}}$	197	231 = 3 · 7 · 11
48	49 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 7^{2}}$	98	99 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{2}\times 11}$	148	231 = 3 · 7 · 11	198	247 = 13 · 19
49	66 = 2 · 3 · 11	99	145 = 5 · 29	149	175 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 5^{2}\times 7}$	199	225 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{2}\times 5^{2}}$
50	51 = 3 · 17	100	153 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 3^{2}\times 17}$	150	169 = ${\displaystyle }$${\displaystyle 13^{2}}$	200	201 = 3 · 67

参见

• 卡迈克尔数
• 欧拉伪素数
• 欧拉－雅可比伪素数