赫尔德不等式

赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自德国数学家奥托·赫尔德。这是一条揭示L^p空间的相互关系的基本不等式：

设${\displaystyle S}$为测度空间，${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$，及${\displaystyle {1 \over p}+{1 \over q}=1}$，设${\displaystyle f}$在${\displaystyle L^{p}(S)}$内，${\displaystyle g}$在${\displaystyle L^{q}(S)}$内。则${\displaystyle f{\mbox{ }}g}$在${\displaystyle L^{1}(S)}$内，且有

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q},}$

等号当且仅当${\displaystyle |f|^{p}}$与${\displaystyle |g|^{q}}$（几乎处处）线性相关时取得，即有常数${\displaystyle \alpha ,\beta }$使得${\displaystyle \alpha |f(x)|^{p}=\beta |g(x)|^{q}}$对几乎所有${\displaystyle x\in S}$成立。

若${\displaystyle S}$取作${\displaystyle \{1,...,n\}}$附计数测度，便得赫尔德不等式的特殊情形：对所有实数（或复数）${\displaystyle x_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}x_{n};{\mbox{ }}y_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}y_{n}}$，有

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}}$。

我们称 ${\displaystyle p}$ 和 ${\displaystyle q}$ 互为赫尔德共轭。

若取${\displaystyle S}$为自然数集附计数测度，便得与上类似的无穷级数不等式。

当${\displaystyle p=q=2}$，便得到柯西-施瓦茨不等式。

赫尔德不等式可以证明${\displaystyle L^{p}}$空间上一般化的三角不等式，闵可夫斯基不等式，和证明${\displaystyle L^{p}}$空间是${\displaystyle L^{q}}$空间的对偶。

备注

• 在赫尔德共轭的定义中，${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}}$意味着零。

• 如果${\displaystyle 1\leq p}$，${\displaystyle q<\infty }$，那么${\displaystyle \lVert f\rVert _{p}}$和${\displaystyle \lVert g\rVert _{q}}$表示（可能无穷的）表达式：

${\displaystyle {\biggl (}\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{\frac {1}{p}}}$   以及   ${\displaystyle {\biggl (}\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{\frac {1}{q}}.}$

• 如果 ${\displaystyle p=\infty }$，那么${\displaystyle \lVert f\rVert _{\infty }}$表示 ${\displaystyle |f|}$ 的本性上确界，${\displaystyle \lVert g\rVert _{\infty }}$也类似。

• 在赫尔德不等式的右端，0乘以${\displaystyle \infty }$以及${\displaystyle \infty }$乘以0意味着 0。把 ${\displaystyle a>0}$ 乘以${\displaystyle \infty }$，则得出${\displaystyle \infty }$。

证明

赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

如果${\displaystyle \lVert f\rVert _{p}=0}$，那么${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$-几乎处处为零，且乘积${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle \mu }$-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果${\displaystyle \lVert g\rVert _{q}=0}$也是这样。因此，我们可以假设${\displaystyle \lVert f\rVert _{p}>0}$且${\displaystyle \lVert g\rVert _{q}>0}$。

如果${\displaystyle \lVert f\rVert _{p}=\infty }$或${\displaystyle \lVert g\rVert _{q}=\infty }$，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设${\displaystyle \lVert f\rVert _{p}}$和${\displaystyle \lVert g\rVert _{q}}$位于 ${\displaystyle (0,\infty )}$ 内。

如果 ${\displaystyle p=\infty }$ 且 ${\displaystyle q=1}$，那么几乎处处有 ${\displaystyle |fg|\leq \lVert f\rVert _{\infty }|g|}$，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于 ${\displaystyle p=1}$和${\displaystyle q=\infty }$，情况也类似。因此，我们还可以假设${\displaystyle p,q\in (1,\infty )}$。

分别用 ${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle g}$ 除${\displaystyle \lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}}$，我们可以假设：

${\displaystyle \|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1.}$

我们现在使用杨氏不等式：

${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}},}$

对于所有非负的 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$，当且仅当 ${\displaystyle a^{p}=b^{q}}$ 时等式成立。因此：

${\displaystyle |f(s)g(s)|\leq {\frac {|f(s)|^{p}}{p}}+{\frac {|g(s)|^{q}}{q}},\qquad s\in S.}$

两边积分，得：

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq 1,}$

这便证明了赫尔德不等式。

在 ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$ 和 ${\displaystyle \lVert f\rVert _{p}=\lVert g\rVert _{q}=1}$ 的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有${\displaystyle |f|^{p}=|g|^{q}}$。更一般地，如果 ${\displaystyle \lVert f\rVert _{p}}$ 和 ${\displaystyle \lVert g\rVert _{q}}$ 位于 ${\displaystyle (0,\infty )}$ 内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$（即 ${\displaystyle \alpha =\lVert g\rVert _{q}}$ 且 ${\displaystyle \beta =\lVert f\rVert _{p}}$ ），使得：

${\displaystyle \alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}\,}$   ${\displaystyle \mu }$-几乎处处   (*)

${\displaystyle \lVert f\rVert _{p}=0}$的情况对应于(*)中的 ${\displaystyle \beta =0}$。${\displaystyle \lVert g\rVert _{q}=0}$ 的情况对应于(*)中的 ${\displaystyle \alpha =0}$。

反向赫尔德不等式

当${\displaystyle 0<p<1}$时，${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$不再满足三角不等式，此时成立反向赫尔德不等式(Reverse Hölder inequality):

${\displaystyle \|fg\|_{1}\geq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}$

参考文献

• Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G., Inequalities, Cambridge Univ. Press, 1934, ISBN 0521358809
• Hölder, O., Ueber einen Mittelwerthsatz, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1889: 38–47
• Kuptsov, L.P., Hölder inequality, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）
• Rogers, L J., An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of math, 1888, 17: 145–150
• Kuttler, Kenneth, An introduction to linear algebra (PDF), Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007 [2009-02-02], （原始内容存档 (PDF)于2008-08-07）
• 邢家省. Young不等式在Lp空间中的应用. 聊城大学学报（自然科学版）. 2007年 第3期, 第20卷. ISSN 1672-6634. 请检查|date=中的日期值 (帮助); 使用|accessdate=需要含有|url= (帮助)
• 张愿章. Young不等式的证明及应用. 河南科学. 2004年 第01期, 第22卷. ISSN 1004-3918. 请检查|date=中的日期值 (帮助); 使用|accessdate=需要含有|url= (帮助)