辛克宏定理

辛克宏定理（英语：Sinkhorn's theorem）是线性代数中的一个定理，指所有元素为正的方块矩阵都可以写成一个正对角矩阵、一个双随机矩阵（英语：Doubly stochastic matrix）与另一个正对角矩阵之积的形式。

定理

如果${\displaystyle A}$是所有元素都严格为正的${\displaystyle n\times n}$矩阵，则存在元素严格为正的对角矩阵${\displaystyle D_{1}}$和${\displaystyle D_{2}}$，使得${\displaystyle D_{1}AD_{2}}$是双随机矩阵，即每一行或列之和均为1。矩阵${\displaystyle D_{1}}$和${\displaystyle D_{2}}$在前者乘以一个正数、后者除以相同正数的情况下是唯一的。^[1][2]

辛克宏-诺普算法

一个逼近双随机矩阵的简单迭代方法是交替地缩放${\displaystyle A}$中所有行与列的比例，使其元素之和为1。辛克宏和诺普（Knopp）提出了该算法并分析了其收敛性。这一算法与调查统计学中的迭代比例拟合（英语：Iterative proportional fitting）本质上相同。

扩展

在酉矩阵中存在类似的结论：对于任意酉矩阵${\displaystyle U}$，都存在两个对角酉矩阵${\displaystyle L}$和${\displaystyle R}$，使得${\displaystyle LUR}$的每一列和每一行的元素之和均为1。^[3]

对矩阵间映射也有类似的扩展结论^[4][5]：给定一个克劳斯（Kraus）算子${\displaystyle \Phi }$表示将一个密度矩阵映射到另一个密度矩阵的量子操作，即

${\displaystyle S\mapsto \Phi (S)=\sum _{i}B_{i}SB_{i}^{*},}$

其满足迹不变

${\displaystyle \sum _{i}B_{i}^{*}B_{i}=I,}$

并且其范围在正定锥内部（严格正定）。在此条件下，存在正定的缩放因子${\displaystyle x_{j}}$（${\displaystyle j\in \{0,1\}}$），使得缩放后的克劳斯算子

${\displaystyle S\mapsto x_{1}\Phi (x_{0}^{-1}Sx_{0}^{-1})x_{1}=\sum _{i}(x_{1}B_{i}x_{0}^{-1})S(x_{1}B_{i}x_{0}^{-1})^{*}}$

是双随机的，即

${\displaystyle x_{1}\Phi (x_{0}^{-1}Ix_{0}^{-1})x_{1}=I,}$

${\displaystyle x_{0}^{-1}\Phi ^{*}(x_{1}Ix_{1})x_{0}^{-1}=I,}$

其中${\displaystyle I}$表示恒等算子。

应用

2010年代，辛克宏定理开始被用于求解熵正则化的最优传输问题。^[6]这一方法在机器学习领域引起了关注，因为由此得到的辛克宏距离（Sinkhorn distance）可用于评估数据分布之间的差异。^[7][8][9]在一些最大似然训练效果不佳的情况下，这种方法可以改进机器学习算法的训练效果。