辛标记

在哈密顿力学里，因为哈密顿方程对于广义坐标 ${\displaystyle \mathbf {q} \,\!}$ 与广义动量 ${\displaystyle \mathbf {p} \,\!}$ 的运算在正负号上并不对称，必须用两个方程来表示：

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}\,\!}$ ，

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}\,\!}$ ；

这里， ${\displaystyle {\mathcal {H}}\,\!}$ 是哈密顿量。

辛标记提供了一种既简单，又有效率的标记方法来展示方程及数学运算。辛标记的英文名 “Symplectic notation” 最先是德国著名数学家赫尔曼·外尔提出的^[1]。 Symplectic 这字原来在希腊文是纠缠或编结的意思；用在这里主要是形容广义坐标和广义动量互相编结在一起的情况。

设定一个 ${\displaystyle 2N\times 1\,\!}$ 的竖矩阵 ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\,\!}$ :

${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}^{T}=[q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ \dots ,\ p_{N}]\,\!}$ ；

此矩阵上半段是广义坐标、下半段是广义动量、${\displaystyle T\,\!}$ 代表转置运算。我们也可以将 ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\,\!}$ 视为一个向量。

定义辛矩阵 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\,\!}$ 为一个斜对称的 ${\displaystyle 2N\times 2N\,\!}$ 方块矩阵：

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\begin{bmatrix}\mathbf {0} &\mathbf {1} \\-\mathbf {1} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}\,\!}$ ；

这里，${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\,\!}$ 是由 4 个 ${\displaystyle N\times N\,\!}$ 零矩阵${\displaystyle \mathbf {0} }$与单位矩阵${\displaystyle \mathbf {1} }$组成。

这样，哈密顿方程可以简易的表示为

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\,\!}$ 。

正则变换

正则变换是一种正则坐标的改变，而同时维持哈密顿方程的形式，虽然哈密顿量可能会改变。所以，使用正则变换，正则坐标会从旧正则坐标 ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\,\!}$ 改变成新正则坐标 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Xi }}\,\!}$ ， ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}\,\!}$ ；哈密顿量也从旧的哈密顿量 ${\displaystyle {\mathcal {H}}\,\!}$ 改变成新的哈密顿量 ${\displaystyle {\mathcal {K}}\,\!}$ ，${\displaystyle {\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {K}}\,\!}$ ；但是，哈密顿方程的形式仍旧维持不变：

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\Xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\,\!}$ 。

帕松括号

在相空间中，用正则坐标 ${\displaystyle \mathbf {q} ,\ \mathbf {p} \,\!}$ ，两个函数${\displaystyle f(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ),\ g(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\,\!}$ 的泊松括号记作:

${\displaystyle {\big [}f,g{\big ]}_{\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} }=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)\,\!}$ 。

用辛标记，

${\displaystyle {\big [}f,g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\,\!}$ 。

参阅

• 辛拓扑
• 辛群
• 辛矩阵