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达布变换
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达布变换(Darboux Transformation)是1882年法国数学家达布发现的一种求偏微分方程精确显式解的变换法。达布变换在求KdV方程,MKdV方程,高维AKNS系统,sine-Gordon方程,sinh-Gordon方程,高阶Broer Kaup系统的精确解方面,有广泛用途。
他发现作一个变换:
其中
其中是时一维薛定谔方程的解,
则当 时,和必定满足另一个相关的一维薛定谔方程:
- λ
达布变换也称为Bäcklund变换,其特点在于根据已知的一个解作为种子,经过变换之后,获得完全可积的新方程组,由此得出另一个新的解。[2]。
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KdV方程的达布变换
1977年Wahlquist等学者发现[3],达布变换也适用于KdV方程,从而将薛定谔方程的达布变换推广为KdV方程的达布变换[4]
KdV方程:
是其LAX对的可积条件:
经过达布变换(u,Φ)→(u',Φ')得到
因此,只要从LAX对求得一个解,然后通过达布变换(u,Φ)→(u',Φ')就可以得到KdV方程的新解,还可以不断进行连锁式达布变换(u,Φ)→(u',Φ')→(u,Φ)→(u,Φ)……以得到KdV方程大量的解。<ref谷超豪《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》2-3页上海科学技术出版社</ref>
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矩阵形式
几何应用

十九世纪八十年代发现一个负常曲率曲面是Sine-Gordon方程一个非零解,又发现通过Bäcklund变换可以从一个负常曲率曲面得到另一个负常曲率曲面[5]。
自对偶杨-米尔斯流
参考文献
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