一些特殊函数的幂次为(其中
、
、
可为任意复数,亦即
):
,
(在
是负实数或虚数的时候并没有定义,就好比
在
是负实数或虚数的时候也没有定义)
,
,
,
(注意迭代幂次要由右往左算)
,
(
)
,
(
)
(注意任何非零复数的任何复数次方都有定义:
,当
为负实数或虚数时,
,其中
为复数
的绝对值,
为复数
的主幅角,
为复数
的实部,
为复数
的虚部)
函数幂亦有类似指数律的定理,其中
、
可为任意复数,亦即
:
注意函数的合成是不可交换的(
并不一定等于
)但因为可结合(
一定等于
),所以会符合幂结合性,因此这两条“函数幂的指数律”并没有任何问题。
这跟例如指数拓展到次方为负整数、分数、无理数、复数,以及阶乘运算跟排列组合运算
、
拓展到非整数和负数时(使用伽玛函数)一样,二项式定理也可以用这种方式拓展到负整数、分数、无理数、复数,只是会变成无穷级数而不再是有限级数而已,包括矩阵的
次方以及微分
次(
为负整数时等同于积分
次),也都可以用这种方式,把
拓展到任意复数,或例如已知“首项”、“公差/公比”、“项数”的等差数列或等比数列要求出全部项的和或乘积的公式,也都可以用这种方式,拓展到项数为负整数、分数、无理数、复数的情况(包括一般的
与
中,
为常见的函数如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数的时候,
跟
也能拓展到任意复数,就跟积分式
一样),至于超运算
能不能拓展到分数、无理数或复数,则是数学中未解决的问题之一。