通用微分方程

此条目介绍的是一种微分代数方程。关于科学机器学习领域的通用微分方程，请见“神经微分方程”。

通用微分方程是一种非平凡的微分代数方程（英语：differential algebraic equation），其解可以在实数线上的任何区域逼近任何连续函数，可以到任意的精准度。此概念是由美国数学家李·艾伯特·鲁贝尔（英语：Lee Albert Rubel）在1981年提出。

若要精确表示，微分方程${\displaystyle P(y',y'',y''',...,y^{(n)})=0}$是通用微分方程，若针对任意连续实值函数${\displaystyle f}$以及任意正值连续函数${\displaystyle \varepsilon }$，存在${\displaystyle P(y',y'',y''',...,y^{(n)})=0}$的光滑解${\displaystyle y}$，使得针对所有${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$，${\displaystyle |y(x)-f(x)|<\varepsilon (x)}$都成立^[1]。

通用微分方程的存在一开始视为是类似类比电脑的通用图灵机，因为香农识别到通用类比电脑（英语：general purpose analog computer）的结果和代数微分方程的解相同^[1]。不过通用微分方程和通用图灵机不同，通用微分方程无法分析系统的演进，只能举出系统演进需要满足的条件^[2]。

范例

• Rubel在1981年发现第一个通用微分方程，是四阶的隐式微分方程^[1][2]： ${\displaystyle 3y^{\prime 4}y^{\prime \prime }y^{\prime \prime \prime \prime 2}-4y^{\prime 4}y^{\prime \prime \prime 2}y^{\prime \prime \prime \prime }+6y^{\prime 3}y^{\prime \prime 2}y^{\prime \prime \prime }y^{\prime \prime \prime \prime }+24y^{\prime 2}y^{\prime \prime 4}y^{\prime \prime \prime \prime }-12y^{\prime 3}y^{\prime \prime }y^{\prime \prime \prime 3}-29y^{\prime 2}y^{\prime \prime 3}y^{\prime \prime \prime 2}+12y^{\prime \prime 7}=0}$
• Duffin发现了一组通用微分方程^[3]：

${\displaystyle n^{2}y^{\prime \prime \prime \prime }y^{\prime 2}+3n(1-n)y^{\prime \prime \prime }y^{\prime \prime }y^{\prime }+\left(2n^{2}-3n+1\right)y^{\prime \prime 3}=0}$和${\displaystyle ny^{\prime \prime \prime \prime }y^{\prime 2}+(2-3n)y^{\prime \prime \prime }y^{\prime \prime }y^{\prime }+2(n-1)y^{\prime \prime 3}=0}$，其解是class ${\displaystyle C^{n}}$，n > 3。

• Briggs提出了另外一组通用微分方程，是建构在雅可比椭圆函数上的^[4]：

${\displaystyle y^{\prime \prime \prime \prime }y^{\prime 2}-3y^{\prime \prime \prime \prime }y^{\prime \prime }y^{\prime }+2\left(1-n^{-2}\right)y^{\prime \prime 3}=0}$，其中n > 3。