邦别里-维诺格拉多夫定理

在数学上，邦别里-维诺格拉多夫定理（Bombieri-Vinogradov theorem；又称邦别里定理 (Bombieri's theorem)）是解析数论上的一个主要成果，该成果出于1960年代，与在在一系列模数上取平均值的算术数列中的质数分布相关。

这类结果最早在1961年由马克·巴尔班（Mark Barban）取得；^[1]，而邦别里—维诺格拉多夫定理则是巴尔班结果的细化。邦别里—维诺格拉多夫定理以恩里科·邦别里^[2]及阿斯科尔德·维诺格拉多夫（英语：Askold Vinogradov）的名字命名，^[3]而这两人在1965年期间出版一些与此相关的密度猜想方面的文章。

该结果是起自1940年代尤里·林尼克（英语：Yuri Linnik）的研究、并在1960年代前期快速发展的大筛法的一个主要应用。在邦别里之外，克劳斯·罗特也研究大筛法相关的问题；而在在1960年代晚期及1970年代早期，帕特里克·X·加拉格尔（英语：Patrick X. Gallagher）简化了这证明的许多元素跟估计。^[4]

邦别里—维诺格拉多夫定理的陈述

设${\displaystyle x}$与${\displaystyle Q}$为任意两个有以下关系的正实数：

${\displaystyle x^{1/2}\log ^{-A}x\leq Q\leq x^{1/2}.}$

那么有

${\displaystyle \sum _{q\leq Q}\max _{y\leq x}\max _{1\leq a\leq q \atop (a,q)=1}\left|\psi (y;q,a)-{y \over \varphi (q)}\right|=O\left(x^{1/2}Q(\log x)^{5}\right)\!.}$

其中${\displaystyle \varphi (q)}$是欧拉函数，且是对q取模的被加数的数量；此外，

${\displaystyle \psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a{\bmod {q}}}\Lambda (n),}$

其中${\displaystyle \Lambda }$是冯·曼戈尔特函数。

一个以文字表示的说法是这是一个与对${\displaystyle q}$取模且不大于${\displaystyle Q}$的等差序列上的质数定理的误差项有关的定理。对于${\displaystyle {\sqrt {x}}}$附近的特定的${\displaystyle Q}$，假若我们忽略对数项，则这平均误差可小至${\displaystyle {\sqrt {x}}}$。这结果并不显著，且在没有平均的状况下与广义黎曼猜想差不多强。

参见

• 埃利奥特—哈伯斯塔姆猜想（英语：Elliott–Halberstam conjecture）（邦别里—维诺格拉多夫定理的推广）
• 维诺格拉多夫定理（英语：Vinogradov's theorem）（以伊万·维诺格拉多夫为名的定理）