重尾分布

在概率论中，重尾分布（英语：Heavy-tailed distribution）是一种概率分布的模型，它的尾部比指数分布还要厚。在许多状况中，通常右边尾部的分布会比较受到重视，但左边尾部比较厚，或是两边尾部都很厚的状况，也会被认为是一种重尾分布。

此图为2015-2017年两年期间欧元兑美元汇率逐分钟变化的重尾分布示例。 极值（图表右侧）显示的频率比指数随机变量高几个数量级。摘自Guerriero等人（2025年），经修改。^[1]

重尾分布之中，又有两个子类型，分别称为长尾分布（long-tailed distributions）以及次指数分布（subexponential distributions）。

定义

重尾分布

在一个累积分布函数中，一个随机变量 X　的分布状况，在以下状况时，被称为是一个重尾分布。假设：

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }e^{\lambda x}\Pr[X>x]=\infty \quad {\mbox{for all }}\lambda >0.\,}$

如果以尾部分布函数的方式来呈现时，

${\displaystyle {\overline {F}}(x)\equiv \Pr(X>x)\,}$

最后可以被写成：

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }e^{\lambda x}{\overline {F}}(x)=\infty \quad {\mbox{for all }}\lambda >0.\,}$

这相当于一个动差生成函数 F, M_F(t) ，对所有的t > 0 来说，都是无限的^[2]。

重尾分布的左尾，与双尾分布，定义相同。

长尾分布

在一个累积分布函数中，一个随机变量 X　的分布，出现以下状况时，被称为是一个长尾分布。假设对所有t > 0 ：

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\Pr[X>x+t|X>x]=1,\,}$

这相等于

${\displaystyle {\overline {F}}(x+t)\sim {\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .\,}$

对一个右尾部形成长尾分布的状况，我们可以做一个直观的解释：假如一个长尾分布的尾部数量超过某个很高的水准，它超过另一个更高水准的几率会接近于一。也就是说，如果你发现状况很糟，它可能会比你想像的还要糟。

长尾分布是重尾分布中的一个特例。所有的长尾分布都是重尾分布，但反之则不然，也就是说，我们可以找出某一个重尾分布，它不是长尾分布。

次指数分布

次指数分布是以几率分布的折积定义出来的。两个独立、不同的随机变数 ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$的共同分布函数${\displaystyle F}$ ，它自己的折积定义为 ${\displaystyle F^{*2}}$，使用勒贝格-史台杰斯积分（Lebesgue–Stieltjes integration） 定义为：

${\displaystyle \Pr[X_{1}+X_{2}\leq x]=F^{*2}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }F(x-y)\,dF(y).}$

n-fold折积的${\displaystyle F^{*n}}$ 也以同样方式定义。其尾端分布函数 ${\displaystyle {\overline {F}}}$ 定义为${\displaystyle {\overline {F}}(x)=1-F(x)}$。

当以下式子成立，几率分布函数${\displaystyle F}$在正的中线（positive half-line）上，被定义为次指数分布：

${\displaystyle {\overline {F^{*2}}}(x)\sim 2{\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .}$

这也意味着，对所有 ${\displaystyle n\geq 1}$来说：

${\displaystyle {\overline {F^{*n}}}(x)\sim n{\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .}$