重心坐标

数学中，重心坐标是由单形（如三角形或四面体等）顶点定义的坐标。重心坐标是齐次坐标的一种。

设v₁, ..., v_n是向量空间V中一个单形的顶点，如果V中某点p满足，

${\displaystyle (\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n})\,p=\lambda _{1}\,v_{1}+\cdots +\lambda _{n}\,v_{n},}$

那么我们称系数（λ₁, ..., λ_n）是 p关于v₁, ..., v_n的重心坐标。这些顶点自己的坐标分别是（1, 0, 0, ..., 0），（0, 1, 0, ..., 0）, ...,（0, 0, 0, ..., 1）。重心坐标不是惟一的：对任何不等于零的k，（k λ₁, ..., k λ_n）也是p的重心坐标。但总可以取坐标满足 λ₁ + ...+ λ_n = 1，称为正规化坐标。注意到定义式在仿射变换下不变，故重心坐标具有仿射不变性。

如果坐标分量都非负，则p在v₁, ..., v_n的凸包内部，即由这些顶点组成的单形包含p。我们设想如果有质量λ₁, ..., λ_n分别位于单形的顶点，那么质量中心就是p。这是术语“重心”的起源，1827年由奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯最初引入。

三角形的重心坐标

在三角形情形中，重心坐标也叫面积坐标，因为P点关于三角形ABC的重心坐标和三角形PBC, PCA及PAB的（有向）面积成比例，证明如下（如右图所示）。

我们用黑体小写字母表示对应点的向量，比如三角形ABC顶点为${\displaystyle {\textbf {a}}\,,{\textbf {b}}\,}$和${\displaystyle {\textbf {c}}\,}$，P点为${\displaystyle {\textbf {p}}}$等。设PBC, PCA及PAB面积之比为${\displaystyle \lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}\,}$且${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1}$，设射线AP与BC交于D，则

${\displaystyle BD:DC=\lambda _{3}:\lambda _{2},}$从而${\displaystyle {\textbf {d}}={\frac {\lambda _{2}{\textbf {b}}+\lambda _{3}{\textbf {c}}}{\lambda _{2}+\lambda _{3}}},}$

${\displaystyle AP:PD=(\lambda _{2}+\lambda _{3}):\lambda _{1}}$，故

${\displaystyle {\textbf {p}}={\frac {(\lambda _{2}+\lambda _{3}){\textbf {d}}+\lambda _{1}{\textbf {a}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}\,,}$

${\displaystyle {\textbf {p}}=\lambda _{1}{\textbf {a}}+\lambda _{2}{\textbf {b}}+\lambda _{3}{\textbf {c}}\,.}$

所以，${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$就是P的重心坐标。

坐标变换

给定三角形平面一点P，我们将这一点的面积坐标${\displaystyle \lambda _{1}\,}$，${\displaystyle \lambda _{2}\,}$和${\displaystyle \lambda _{3}\,}$用笛卡尔坐标表示出来。

利用笛卡尔坐标中的三角形面积公式：

${\displaystyle S(ABC)={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}1&x_{a}&y_{a}\\1&x_{b}&y_{b}\\1&x_{c}&y_{c}\\\end{vmatrix}}}$

我们可得：

${\displaystyle \lambda _{1}=S(PBC)/S(ABC)={\begin{vmatrix}1&x_{p}&y_{p}\\1&x_{b}&y_{b}\\1&x_{c}&y_{c}\\\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}1&x_{a}&y_{a}\\1&x_{b}&y_{b}\\1&x_{c}&y_{c}\\\end{vmatrix}}}$

类似地有${\displaystyle \lambda _{2},\lambda _{3}}$，注意ABC构成一个三角形，上式的分母不可能为0。

反过来则简单得多：

${\displaystyle {\textbf {p}}=\lambda _{1}{\textbf {a}}+\lambda _{2}{\textbf {b}}+\lambda _{3}{\textbf {c}},}$故

${\displaystyle x_{p}=\lambda _{1}x_{a}+\lambda _{2}x_{b}+\lambda _{3}x_{c},}$和

${\displaystyle y_{p}=\lambda _{1}y_{a}+\lambda _{2}y_{b}+\lambda _{3}y_{c}.}$

判断一点的位置

因重心坐标是笛卡尔坐标的一个线性变换，从而它们在边和三角形区域之间的变化是线性的。如果点在三角形内部，那么所有重心坐标属于开区间${\displaystyle (0,1)}$；如果一点在三角形的边上，至少有一个面积坐标${\displaystyle \lambda _{1...3}}$为0，其余分量位于闭区间${\displaystyle [0,1]}$。如果有某个坐标小于0，则位于三角形外部，具体分布可参考上图。 图示中，B和C顶端的坐标正负反了，B的应该是（-,+,-），C的是（-,-,+）

应用

面积坐标在涉及到三角形子区域的工程学问题时特别有用，经常可以化简解析积分求值，高斯积分法表也常以面积坐标的形式给出。

考虑由顶点${\displaystyle {\textbf {v}}_{1}\,}$, ${\displaystyle {\textbf {v}}_{2}\,}$和${\displaystyle {\textbf {v}}_{3}\,}$定义的三角形T，任何在三角形内部的点${\displaystyle {\textbf {p}}}$都能写成顶点的加权和：

${\displaystyle {\textbf {p}}=\lambda _{1}{\textbf {v}}_{1}+\lambda _{2}{\textbf {v}}_{2}+\lambda _{3}{\textbf {v}}_{3},}$

这里${\displaystyle \lambda _{1}\,}$、${\displaystyle \lambda _{2}\,}$和${\displaystyle \lambda _{3}\,}$是面积坐标。注意到${\displaystyle \lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}\,}$。从而，函数${\displaystyle f}$在T上的积分为：

${\displaystyle \int _{T}f({\textbf {p}})\ ds=2S\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{2}}f(\lambda _{1}{\textbf {v}}_{1}+\lambda _{2}{\textbf {v}}_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}){\textbf {v}}_{3})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}\,}$

这里S是三角形T的面积。注意上式具有线性插值的形式。

重心坐标提供了一种非结构网格上函数插值的方法，假设函数值在所有网格的顶点上已知。如果${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i\in {1,2,3}}$，则点${\displaystyle {\textbf {p}}}$位于三角形内部或边界上。我们取${\displaystyle f}$的插值为

${\displaystyle f({\textbf {p}})=\lambda _{1}f({\textbf {v}}_{1})+\lambda _{2}f({\textbf {v}}_{2})+\lambda _{3}f({\textbf {v}}_{3}),}$

这个线性插值是自动正规的因为${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1}$。

四面体的重心坐标

重心坐标容易推广到三维空间。3维单形即四面体，具有四个三角形面和四个顶点。

完全类似于三角形，四面体${\displaystyle {\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3},{\textbf {v}}_{4}}$的顶点${\displaystyle {\textbf {v}}_{1}}$的重心坐标为（1,0,0,0），${\displaystyle {\textbf {v}}_{2}}$为（0,1,0,0），如是等等。

点${\displaystyle {\textbf {p}}}$的笛卡尔坐标和为关于四面体${\displaystyle {\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3},{\textbf {v}}_{4}}$的重心坐标的关系：

${\displaystyle \lambda _{1}={\text{Vol}}(PV_{2}V_{3}V_{4})/{\text{Vol}}(V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}),\;\lambda _{2}=\cdots .}$

这里${\displaystyle {\text{Vol}}(V_{1}V_{2}V_{3}V_{4})}$为${\displaystyle {\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3},{\textbf {v}}_{4}}$组成的四面体的体积，类似于三角形也可以用笛卡尔坐标的一个行列式表示出来。

3维重心坐标和2维一样，可以确定一点是否位于四面体内部，也能对四面体网格上函数插值。因为利用重心坐标可以极大地简化3维插值，四面体网格经常用于有限元分析。

参考文献

• Bradley, Christopher J. The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-ordinates. Bath: Highperception. 2007. ISBN 978-1-906338-00-8.
• 埃里克·韦斯坦因. Areal Coordinates. MathWorld.
• 埃里克·韦斯坦因. Barycentric Coordinates. MathWorld.

外部链接

• 重心坐标：一个有意思的运用 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（解“三杯子问题”）位于cut-the-knot
• 齐次重心坐标在平面欧几里得几何中的运用