设铅垂线的线元矢量为
,重力矢量为
,两者间仅相差一个比例因子:[4]:53

根据微分几何中曲率的计算公式,铅垂线投影在
平面上的曲率
为

上式的二阶微分可由重力位
的偏微分得到:
![{\displaystyle {\operatorname {d} \!x \over \operatorname {d} \!z}={W_{x} \over W_{z}}\longrightarrow {\operatorname {d} ^{2}\!x \over \operatorname {d} \!z^{2}}={1 \over W_{z}^{2}}\left[W_{z}(W_{xz}+W_{xx}{\operatorname {d} \!x \over \operatorname {d} \!z})-W_{x}(W_{zz}+W_{zx}{\operatorname {d} \!x \over \operatorname {d} \!z})\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4433ed1b192b9e42396697feb613d9b879f18a8d)
取沿向上的铅垂方向为
轴正向,建立局部坐标框架。此时重力位
在
平面的微分为零,即

将上式代入曲率
的计算公式,得:

其中,重力位沿
轴方向的微分
. 其中
为重力矢量的大小,即
. 则重力位的微分可替换为重力矢量大小的微分:[4]:54

同理可证,铅垂线投影在
平面上的曲率
为

由于铅垂线与
轴在上述定义的局部坐标框架中相切,即铅垂线投影在
平面上的曲率为零,再由总曲率的计算公式可以得到:[4]:54
