阿依热尔曼猜想

阿依热尔曼猜想（Aizerman's conjecture）或阿依热尔曼问题猜想（Aizerman problem）是非线性控制的猜想，认为一线性系统有非线性的回授，不过是在一个扇形的线性区间内，若线性系统在此扇形线性区间都稳定，则整个系统都会稳定。

阿依热尔曼猜想在一维系统成立，在二维系统是全域稳定的充份必要条件，而针对维度大于3的情形，这个猜想已找到反证^[1][2]，不过后来因此推导出（有效的）非线性控制全域稳定性准则。

阿依热尔曼猜想的数学描述

考虑一个系统，其中包括一个标量非线性的函数

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Px+qf(e),\quad e=r^{*}x\quad x\in \mathbb {R} ^{n},}$

其中P是常数n×n矩阵、q和r是常数n维向量、∗ 是转置算子、f(e)是标量函数，且 f(0)=0。假设非线性函数f是有扇型区间的上下限，也就是存在实数${\displaystyle k_{1}}$及${\displaystyle k_{2}}$，满足${\displaystyle k_{1}<k_{2}}$，且函数${\displaystyle f}$满足

${\displaystyle k_{1}<{\frac {f(e)}{e}}<k_{2},\quad \forall \;e\neq 0.}$

阿依热尔曼猜想就是指此系统在全域稳定（有唯一稳定点，而且是全域吸引子）若所有在f(e)=ke, k ∈(k1,k2)下的线性系统都是渐近稳定。

存在阿依热尔曼猜想的反例，非线性函数在线性稳定的范围内，且系统除了唯一的稳定平衡点外，还有稳定的周期解—隐蔽振荡。^[2][3][4][5]

卡尔曼猜想是强化版本的阿依热尔曼猜想，在非线性回授的部分要求回授的微分需在线性稳定区间内，结果也存在反例。