阿特伍德机

阿特伍德机（Atwood machine，又译作阿特午德机或阿特午机），是由英国牧师、数学家兼物理学家的乔治·阿特伍德在1784年发表的《关于物体的直线运动和转动》一文中提出的^[1]，用于测量加速度及验证运动定律的机械。此机械现在经常出现于学校教学中，用来解释经典物理学的原理，验证力学中做恒定加速度运动的运动规律。

阿特伍德机，1905年。

一个理想的阿特伍德机包含两个物体质量m₁和m₂，及由无重量、无弹性的绳子连结并包覆理想且无重量的滑轮。 ^[2]

当${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$，无论两物体在何位置、机器处于力平衡的状态。当${\displaystyle m_{2}>m_{1}}$时，两物体皆以大小相等的加速度做运动。

恒定加速度的方程式

Atwood machine

我们可以借由分解力的方法得到一个加速度的方程式。如果绳子无重量、无弹性，滑轮理想（无视半径）且无重量，那么我们只需要考虑张力（T），还有两个物体的重量（mg）。先找出个别影响两物体的力,当${\displaystyle m_{2}>m_{1}}$时,

m₁的力: ${\displaystyle \;T-m_{1}g}$

m₂的力: ${\displaystyle \;m_{2}g-T}$

利用牛顿第二运动定律, ${\displaystyle \;T-m_{1}g=m_{1}a}$, ${\displaystyle \;m_{2}g-T=m_{2}a}$ 。 将这两个方程式相加, 我们可以得到整个系统的恒定的加速度的方程式。定义合力${\displaystyle \sum F}$, 我们有 ${\displaystyle \sum F=(m_{2}g-T)+(T-m_{1}g)=g(m_{2}-m_{1})}$ 。

${\displaystyle \sum F=ma}$

${\displaystyle a={\sum F \over m}}$

${\displaystyle \sum F=g(m_{2}-m_{1})}$

${\displaystyle \;m=(m_{1}+m_{2})}$

${\displaystyle a=g{m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}}$

阿特伍德机有时候也被用来说明拉格朗日力学中获得的运动方程式。 ^[3]

计算张力的方程式

上述的方程式也可用来计算绳子上的张力，只需要将得到的等加速度方程式代入两物体的力方程式之一中。

${\displaystyle a=g{m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}}$

例如代入${\displaystyle m_{1}a=T-m_{1}g}$，我们得到

${\displaystyle T=g{2m_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$

借由同样的方法，张力也可以从${\displaystyle m_{2}a=m_{2}g-T}$中求得。

有转动惯量滑轮和摩擦存在的情况

若m₁与m₂之间的重量差别很小时，半径为（r）的滑轮的转动惯量（I）不可以被忽略。当不打滑时，滑轮的角加速度可以从以下算式求得：

${\displaystyle \alpha ={a \over r}}$

在此情况下，作用于滑轮上的总力矩为：

${\displaystyle \tau _{Total}=\left(T_{2}-T_{1}\right)r-\tau _{friction}=I\alpha }$

把该方程式与两个垂吊物体的方程式 ${\displaystyle \;T_{1}-m_{1}g=m_{1}a}$, ${\displaystyle \;m_{2}g-T_{2}=m_{2}a}$ 联合求解 ${\displaystyle \;T_{1}}$, ${\displaystyle \;T_{2}}$ 和 ${\displaystyle \;a}$，我们得到：

${\displaystyle a={g(m_{2}-m_{1})-{\tau _{friction} \over {r}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

${\displaystyle T_{1}={m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}+{\tau _{friction} \over {rg}}) \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

${\displaystyle T_{2}={m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}}+{\tau _{friction} \over {rg}}) \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$