随机矩阵

提示：此条目的主题不是转移矩阵。

在概率论和数学物理中，随机矩阵（英语：Random matrix）是一个矩阵值的随机变量，也就是说，一个矩阵中的所有元素都是随机变量。^[1]

应用

物理

• 原子核物理学^[2][3]，量子场论
• 量子混沌（quantum chaos）Bohigas–Giannoni–Schmit（BGS）猜想^[4]
• 量子光学^[5][6]
• 杨-米尔斯理论（量子色动力学）^[7]
• 两维的量子引力，AdS/CFT对偶，^[8]
• 介观物理学,^[9]
• 自旋转移矩,^[10]
• 小数量子霍尔效果,^[11]
• 安德森的本地化（Anderson localization）^[12]
• 量子点,^[13]
• 超导现象^[14]

其他（AI、数学、统计）

• 数论，黎曼ζ函数和其他L函数的零分布，希尔伯特–波利亚猜想，黎曼猜想^[15]
• 多元变量统计^[16][17]
• 数值分析^[18][19]
• 最优控制^[20][21][22]
• 神经科学理论，混沌理论^{[22][23][24][25][26]}
• 人工智能，机器学习，深度学习，深度神经网络^[27][28][29]

随机矩阵模型

设${\displaystyle H}$是${\displaystyle N\times N}$的矩阵，有下面的概率测度：

${\displaystyle P(H)={\frac {1}{Z}}e^{-Ntr(V(H))}}$

例子，高斯模型：${\displaystyle V(H)=H^{2}/2}$。

• GUE (Gaussian Unitary Ensemble)：H是埃尔米特矩阵。通过1/N展开，维格纳半圆分布描述H的大N特征值的几率密度函数${\displaystyle \rho (E)}$。^[1]
• GOE (Orthogonal)：H是对称矩阵
• GSE (Symplectic)：H是四元数的矩阵（Quaternion matrix）

参见

• 维格纳半圆分布
• 弗里曼·戴森气体模型（Dyson gas model）
• 1/N展开
• 普遍性 (物理学)（Universality）
• Spectral Theory
• 非古典机率（Free probability）

阅读

• 陶哲轩的Topics in random matrix theory (https://terrytao.files.wordpress.com/2011/02/matrix-book.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）)
• 其他书：^[30][31][32]
• 文章：^{[33][34][35][36]}
• 原始文章：^[37][38][39]
• Voiculescu, Free Probability Theory and Operator Algebras
• Speicher, Free Probability Theory (https://arxiv.org/pdf/0911.0087.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）)
• 徐一鸿的Quantum Field Theory in a Nutshell (Large N expansion)