雷乔杜里方程

在广义相对论中，雷乔杜里方程（英语：Raychaudhuri equation），或朗道–雷乔杜里方程（英语：Landau–Raychaudhuri equation）^[1]是描述邻近物质运动的基本方程。

它不仅是彭罗斯-霍金奇点定理和广义相对论的精确解研究的基本引理，还具有独特之处，即它指出引力应该是广义相对论中任意质量-能量之间的普遍存在的吸引力，正如在牛顿引力理论中那样。

这一方程由印度物理学家阿马尔·库马尔·雷乔杜里（英语：Amal Kumar Raychaudhuri）^[2]和苏联物理学家列夫·朗道各自独立发现。^[3]

数学表述

考虑一个类时的单位矢量场 ${\displaystyle {\vec {X}}}$（可理解为不相交的世界线的汇（英语：Congruence (general relativity)））, 雷乔杜里方程可写为

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-2\sigma ^{2}+2\omega ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}+{{\dot {X}}^{a}}_{;a}}$

式中

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{2}}\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;\omega ^{2}={\frac {1}{2}}\omega _{mn}\,\omega ^{mn}}$

是剪切张量

${\displaystyle \sigma _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}}$

和涡度张量

${\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}}$

的二次不变量。这里

${\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}}$

是扩张张量，${\displaystyle \theta }$是它的迹，称为扩张标量。

${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}}$

是正交于${\displaystyle {\vec {X}}}$的超平面上的投影张量。另外，圆点表示对固有时的微分。潮汐张量（英语：Electrogravitic tensor）${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}}$的迹可写为

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$ +1

这个量有时也称为雷乔杜里标量。

参见

• 汇（英语：Congruence (general relativity)）
• 引力奇点
• 彭罗斯-霍金奇点定理