非整数进位制

非整数进位制是指底数不是正整数的进位制。对于一个非正整数的底数β > 1，以下的数值: ${\displaystyle x=d_{n}\dots d_{2}d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}\dots d_{-m}}$ 为

${\displaystyle x=\beta ^{n}d_{n}+\cdots +\beta ^{2}d_{2}+\beta d_{1}+d_{0}+\beta ^{-1}d_{-1}+\beta ^{-2}d_{-2}+\cdots +\beta ^{-m}d_{-m}.}$

而数字d_i为小于β的非负整数。此进位制可以配合所使用β，称为β进制或β展开，后者的名称是数学家Rényi在1957年开始使用^[1]，而数学家Parry在1960年第一个进行相关的研究^[2]。每一个实数至少有一个β进位制的表示方式（也可能是无限多个）。

β进制可以应用在编码理论^[3]及准晶体模型的描述^[4][5]。

建构

β进制是十进制的延伸。十进制的表示法不唯一（例如，1.000... = 0.999...），不过所有有限位数的十进制表示法是唯一的。有限位数β进制就不一定有此特性，例如，在β = φ（黄金比例）时，φ + 1 = φ。

针对特定实数，选择其β进制各位数的方式，可以用以下的贪心算法产生，本质上是来自Rényi (1957)，此处的公式则来自Frougny (1992) harvtxt模板错误: 无指向目标: CITEREFFrougny1992 (帮助)。

令β > 1是底数，x为非负的实数。令⌊x⌋是x的取整函数（小于等于x的最大整数），令{x} = x − ⌊x⌋是x的小数部分。存在一整数k使得β^k ≤ x < β^k+1。令

${\displaystyle d_{k}=\lfloor x/\beta ^{k}\rfloor }$

且

${\displaystyle r_{k}=\{x/\beta ^{k}\}.\,}$

针对k − 1 ≥  j > −∞，定义

${\displaystyle d_{j}=\lfloor \beta r_{j+1}\rfloor ,\quad r_{j}=\{\beta r_{j+1}\}.}$

换句话说，x的正规β进制表示法可以用以下方式得到：先选择最大的d_k，使得β^kd_k ≤ x，再选择最大的d_k−1，使得β^kd_k + β^k−1d_k−1 ≤ x，以此类推。此作法会选择可以表示x，字典序最大的字串。

若是整数进位制，以上方式会产生一般整数进位制下的数值。因此此建构方式将一般的算法推广到非整数的基底β。