马兰戈尼数

马兰戈尼数（Ma^[1]）是无量纲，是比较由于马伦哥尼效应的输送速率和扩散输送速率的比值。The 马伦哥尼效应是因为流体表面张力造成的流动。因此马兰戈尼数比较流和扩散的时间尺度，是一种佩克莱特数。

马兰戈尼数是因为表面张力梯度的对流传输速率，除以因为扩散的传输速率。

常见的例子是因为温度梯度产生的表面张力梯度^[2]。相关的扩散是热能扩散，另一个是因为界面活性剂浓度变化造成的表面梯度，此时的扩散是界面活性剂分子扩散。

马兰戈尼数得名自意大利科学家卡罗·马兰戈尼（英语：Carlo Marangoni）（1849-1925），不过此无量纲是在1950年代才开始使用^[2][3]，马兰戈尼没有发现此无量纲，更没有使用过。

针对黏度为${\displaystyle \mu }$的单一成分液体，表面张力在和表面平行的距离${\displaystyle L}$内，变化${\displaystyle \Delta \gamma }$，可以估计如下。此处假设${\displaystyle L}$是此问题唯一的长度尺度，实务上表示液体深度至少超过${\displaystyle L}$。输送率会用斯托克斯流的方程估计，而流体速度会将将应力梯度等同于黏滞耗散来求得。表面张力是单位长度的力，所得的应力会是${\displaystyle \Delta \gamma /L}$，而黏滞应力是${\displaystyle \mu u/L}$，针对马兰戈尼流的速度${\displaystyle u}$，让两者相等会得到流速${\displaystyle u=\Delta \gamma /\mu }$。因为Ma是一种佩克莱特数，是速度乘以长度，除以扩散系数${\displaystyle D}$。而扩散系数正是造成表面张力差的原因，因此

$${\displaystyle \mathrm {Ma} ={\dfrac {uL}{D}}={\dfrac {\Delta \gamma L}{\mu D}}}$$

温度梯度产生的马兰戈尼数

马兰戈尼数一个常见的应用是针对一层液体（例如水），若有温度差${\displaystyle \Delta T}$在这一层流体的两边。这可能是因为液体冷凝或是下方加热。此时在液体上有和温度有关的表面张力，多半当温度上升时，表面张力会下降。因此若因为小的扰动温度，一部分的表面比其他表面热，会因为表面张力的差距，从热的部分流到冷的部分，此流动称为马伦哥尼效应。此流动会输送能量，马兰戈尼数是比较流体输送的能量，和因为扩散输送能量的比值。

若液体厚${\displaystyle L}$，黏度${\displaystyle \mu }$，热扩散率${\displaystyle \alpha }$，表面张力${\displaystyle \gamma }$，而表面张力随温度变化的偏微分为${\displaystyle \partial \gamma /\partial T}$，马兰戈尼数可以用以下公式计算^[4]： $${\displaystyle \mathrm {Ma} =-(\partial \gamma /\partial T).{\frac {L.\Delta T}{\mu .\alpha }}}$$

若Ma很小，会以热扩散为主，若Ma很大，会有因为表面张力差所驱动的流动（对流），此为Bénard-Marangoni对流。

相关条目

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