马施克定理

在代数中，马施克定理是有限群表示论中基本的定理之一。

Heinrich Maschke

定理

若${\displaystyle V}$是域${\displaystyle K}$上的有限维线性空间，${\displaystyle (V,\rho )}$是有限群${\displaystyle G}$的表示, ${\displaystyle U_{0}}$是${\displaystyle V}$的${\displaystyle G}$不变子空间, ${\displaystyle K}$的特征不能整除${\displaystyle G}$的阶，

则存在${\displaystyle V}$中的${\displaystyle G}$不变子空间${\displaystyle W}$，使得${\displaystyle V=W\oplus U_{0}}$，从而${\displaystyle (V,\rho )}$是完全可约的。

证明

${\displaystyle U_{0}}$是${\displaystyle V}$的子空间，所以存在${\displaystyle U_{0}}$在${\displaystyle V}$中的补空间${\displaystyle W_{0}}$，及投影${\displaystyle P_{0}}$, ${\displaystyle Q_{0}}$，使得

${\displaystyle U_{0}=P_{0}V}$

${\displaystyle W_{0}=Q_{0}V}$

${\displaystyle P_{0}^{2}-P_{0}=Q_{0}^{2}-Q_{0}=P_{0}Q_{0}=Q_{0}P_{0}=0}$

${\displaystyle P_{0}+Q_{0}=1}$

由条件“${\displaystyle K}$的特征不能整除${\displaystyle G}$的阶”，令${\displaystyle N=|G|}$，则${\displaystyle N}$是域${\displaystyle K}$中的可逆元。

定义新的投影算子

${\displaystyle P=N^{-1}\sum _{g\in G}gP_{0}g^{-1}}$

${\displaystyle Q=N^{-1}\sum _{g\in G}gQ_{0}g^{-1}}$

则

${\displaystyle P+Q=1}$

${\displaystyle P^{2}=P}$

${\displaystyle Q^{2}=Q}$

${\displaystyle PQ=QP=0}$

于是

${\displaystyle V=U\oplus W}$

其中 ${\displaystyle U={\textrm {Im}}{P}}$， ${\displaystyle W={\textrm {Im}}{Q}}$

由${\displaystyle P}$的定义 ${\displaystyle U={\textrm {Im}}P\subseteq U_{0}}$

另一方面可以直接验证 ${\displaystyle \forall u=P_{0}v\in U_{0},Qu=QP_{0}v=0}$ 从而 ${\displaystyle U_{0}\subseteq {\textrm {Ker}}Q={\textrm {Im}}P=U}$

故 ${\displaystyle U=U_{0}}$

${\displaystyle V=U_{0}\oplus W}$

注意到${\displaystyle \forall g\in G,gQ=Qg}$

${\displaystyle W}$是${\displaystyle G}$不变子空间。

证毕。

参考

• 丘维声. 有限群和紧群的表示论 (PDF). 北京大学出版社. 1997: 21.