高斯引理 (多项式)

关于数论的“高斯引理”，请见“高斯引理”。

在代数学中 ，高斯引理^[1]以高斯命名，是关于整系数多项式的命题，或者更一般地说，是关于一个唯一分解整环的叙述。

高斯的引理断言两个本原多项式的乘积仍是本原多项式（本原多项式是指：系数的最大公因数为1的整系数多项式）。

高斯引理有一个推论，有时也被称为高斯引理。其断定一个本原多项式在整数上是不可约的 ，当且仅当它在有理数上是不可约的。

整系数多项式版本

当一个整系数多项式 ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}}$的系数的最大公因数是1，我们称其为本原多项式。那么有以下高斯引理：

高斯引理 (本原版本). 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。

证明：

以下以反证法证明，假设存在${\displaystyle p}$不是1，整除乘积

设整系数多项式${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{s}x^{s},g(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots +b_{t}x^{t}}$都是本原的，并反设${\displaystyle h(x):=f(x)g(x)}$不是本原多项式。

于是${\displaystyle h(x)}$是非本原的整系数多项式，因此可选整除${\displaystyle h(x)}$所有系数的质数${\displaystyle p}$。

但${\displaystyle f(x),g(x)}$皆是本原的，从而可分别选定${\displaystyle i\in \{0,\dots ,s\},j\in \{0,\dots ,t\}}$为满足${\displaystyle p\nmid a_{i},p\nmid b_{j}}$的最小整数（i.e.从0项开始出发）。现在我们知道${\displaystyle h(x)}$的${\displaystyle i+j}$项系数是

${\displaystyle \sum _{k=0}^{i+j}a_{k}b_{i+j-k}\equiv a_{i}b_{j}\not \equiv 0{\pmod {p}}.}$

（乘积里面先于${\displaystyle a_{i},b_{j}}$都是被${\displaystyle p}$整除，所以只剩${\displaystyle a_{i}b_{j}}$）根据假设，该项系数应该被${\displaystyle p}$整除，矛盾，故得证。

高斯引理 (不可约版本). 如果一非常数整系数多项式在有理系数多项式环${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$内可约，则他在整系数多项式环${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$内也可约。

证明：

设${\displaystyle h(x)}$是一在${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$内可约的非常数整系数多项式。于是可取两个非常数的有理系数多项式${\displaystyle f_{1}(x),g_{1}(x)}$使得${\displaystyle h(x)=f_{1}(x)g_{1}(x)}$。

透过适当选取整数${\displaystyle a,b,c,d}$，可以假设${\displaystyle \textstyle f_{2}(x):={\frac {a}{c}}f_{1}(x),g_{2}(x):={\frac {b}{d}}g_{1}(x)}$皆是本原多项式（当然也就是整系数多项式）。

由上一个引理，${\displaystyle f_{2}(x)g_{2}(x)=\textstyle {\frac {ab}{cd}}h(x)}$也是本原多项式。于是${\displaystyle \textstyle {\frac {cd}{ab}}}$是${\displaystyle h(x)}$的系数的最大公因数，故${\displaystyle \textstyle {\frac {cd}{ab}}}$是个整数。

现在，我们有${\displaystyle h(x)=\textstyle {\frac {cd}{ab}}f_{2}(x)g_{2}(x)}$且${\displaystyle \textstyle {\frac {cd}{ab}}}$是整数，于是也就证明了${\displaystyle h(x)}$在${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$内也可约。