魏尔施特拉斯逼近定理

斯通—魏尔施特拉斯逼近定理 (Stone-Weierstrass Theorem) 是一个分析学上的定理，其描述了在紧致豪斯多夫空间${\displaystyle (X,\tau )}$上的实数连续函数${\displaystyle C(X,\mathbb {R} )}$能够被较小的函数集逼近的条件。

定义

对于紧致豪斯多夫空间 ${\displaystyle (X,\tau )}$以及${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )}$，我们定义

• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是一个代数 (algebra) 如果${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是一个实数子空间，并且对于所有${\displaystyle f,g\in {\mathcal {A}}}$，${\displaystyle fg\in {\mathcal {A}}}$。
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$分离相异点(separates points)如果对于所有相异${\displaystyle x,y\in X}$，存在${\displaystyle f\in C(X,\mathbb {R} )}$使得${\displaystyle f(x)\neq f(y)}$。
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是一个晶格 (lattice) 如果对于所有${\displaystyle f,g\in {\mathcal {A}}}$，${\displaystyle \min(f,g),\max(f.g)\in {\mathcal {A}}}$。

叙述

对于紧致豪斯多夫空间 ${\displaystyle (X,\tau )}$以及分离相异点的闭子代数${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )}$，那么${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是以下两个情况之一：

1. ${\displaystyle {\mathcal {A}}=C(X,\mathbb {R} )}$；
2. 存在一个${\displaystyle x_{0}\in X}$使得${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{g\in C(X,\mathbb {R} ):g(x_{0})=0\}}$。

且(1)当且仅当${\displaystyle 1\in {\mathcal {A}}}$；(2)当且仅当存在${\displaystyle x_{0}\in X}$使得对于所有${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle g(x_{0})=0}$。

注意：由于${\displaystyle {\mathcal {A}}}$分离相异点，在(2)的等价(不论哪个方向)中的${\displaystyle x_{0}}$是唯一的。

证明[1]

引理Ａ：如果将${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$视为一个实数向量空间，且两向量间乘法定义为${\displaystyle (x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})\mapsto (x_{1}x_{2},y_{1}y_{2})}$，那么${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$是个代数。且所有子代数只能是以下几个情况：

1. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$；
2. ${\displaystyle \{(0,0)\}}$；
3. ${\displaystyle v}$的线性生成空间，其中${\displaystyle v=(1,0),(0,1),(1,1)}$。

证明：显然，(1), (2)跟(3)都是子代数。如果${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$是一个子代数，那么因为${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是一个子空间。那么如果${\displaystyle \dim({\mathcal {A}})=0,2}$，对应到(1), (2)。如果${\displaystyle \dim({\mathcal {A}})=1}$，那么存在一个非零向量${\displaystyle v=(a,b)}$使得${\displaystyle {\mathcal {A}}={\text{span}}(v)}$。那么因为${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是一个代数，存在${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$使得${\displaystyle a^{2}=\lambda a,b^{2}=\lambda b}$。所以${\displaystyle a(\lambda -a)=0,b(\lambda -b)=0}$ 。如果${\displaystyle a\neq 0,b\neq 0}$，那么${\displaystyle a=b=\lambda }$，对应到(3)中${\displaystyle v=(1,1)}$的情况；如果${\displaystyle a,b}$其一非零，则对应到(3)中${\displaystyle v=(0,1),(1,0)}$的情况。${\displaystyle \square }$

引理B：对于豪斯多夫空间${\displaystyle X}$和分离相异点的子代数${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )}$，以及相异点${\displaystyle x,y\in X}$，定义${\displaystyle {\mathcal {A}}_{xy}=\{(g(x),g(y)):g\in {\mathcal {A}}\}}$。那么只能是以下两个情况：

1. 对于所有相异${\displaystyle x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}=\mathbb {R} ^{2}}$。
2. 存在一组相异${\displaystyle x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}={\text{span}}\{(1,0)\},{\text{span}}\{(0,1)\}}$。

另外，(2)等价于存在一个${\displaystyle x_{0}\in X}$使得对于所有${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}}$，${\displaystyle g(x_{0})=0}$。

注意：由于${\displaystyle {\mathcal {A}}}$分离相异点，在(2)的等价(不论哪个方向)中的${\displaystyle x_{0}}$是唯一的。

证明：显然，对于所有相异${\displaystyle x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}}$是一个子代数。根据引理A，只需要证明对于所有相异${\displaystyle x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}}$不可能是${\displaystyle {\text{span}}\{(1,1)\},{\text{span}}\{(0,0)\}}$，但这显然成立，因为${\displaystyle {\mathcal {A}}}$分离相异点以及。 接着证明(2)的等价：如果存在一组相异${\displaystyle x,y\in X,{\mathcal {A}}_{xy}={\text{span}}\{(1,0)\},{\text{span}}\{(0,1)\}}$，那么根据${\displaystyle {\mathcal {A}}_{xy}}$的定义，存在一个${\displaystyle x_{0}\in X}$使得对于所有${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}}$，${\displaystyle g(x_{0})=0}$。相反地，如果存在一个${\displaystyle x_{0}\in X}$使得对于所有${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}}$，${\displaystyle g(x_{0})=0}$，那么对于所有相异于${\displaystyle x_{0}}$的${\displaystyle y\in X}$，我们有${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{x_{0}}y}={\text{span}}\{(0,1)\}}$。${\displaystyle \square }$

引理C：对于任意${\displaystyle \epsilon >0}$，存在一个实多项式${\displaystyle P}$使得${\displaystyle P(0)=0}$，且对于所有${\displaystyle x\in [-1,1]}$，${\displaystyle ||x|-P(x)|<\epsilon }$。

证明：令${\displaystyle P_{0}\equiv 0}$，${\displaystyle P_{n+1}(x)=P_{n}(x)+{\frac {x^{2}-P_{n}^{2}(x)}{2}}}$。那么根据数学归纳法可以证明：

1. 对于所有${\displaystyle x\in [-1,1]}$，${\displaystyle 0\leq P_{n}(x)\leq P_{n+1}(x)\leq |x|}$。
2. 对于所有${\displaystyle x\in [-1,1]}$，${\displaystyle ||x|-P_{n}(x)|\leq |x|\left(1-{\frac {|x|}{2}}\right)^{n}}$。

因为${\displaystyle |x|\left(1-{\frac {|x|}{2}}\right)^{n}\leq {\frac {1}{n+1}}}$，得证。${\displaystyle \square }$

引理D：对于紧致豪斯多夫空间${\displaystyle X}$和闭子代数${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )}$，如果${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}}$，那么${\displaystyle |g|\in {\mathcal {A}}}$，且${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是一个晶格。

证明：对于非零函数${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}}$，令${\displaystyle h={\frac {g}{\lVert g\rVert _{\infty ,X}}}}$，其中${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{\infty ,X}}$是在${\displaystyle X}$上的无穷范数。那么因为${\displaystyle -1\leq h\leq 1}$根据引理C，存在一个存在一个实多项式${\displaystyle P}$使得${\displaystyle P(0)=0}$，且对于所有${\displaystyle x\in X}$，有${\displaystyle ||h(x)|-P(h(x))|<\epsilon }$。因为${\displaystyle P(0)=0}$，所以${\displaystyle P(h(x))\in {\mathcal {A}}}$。因为${\displaystyle \epsilon >0}$是任意的，所以${\displaystyle |h|\in {\mathcal {A}}\implies |g|=\lVert g\rVert _{\infty ,X}|h|\in {\mathcal {A}}}$。对于任意${\displaystyle f_{1},f_{2}\in {\mathcal {A}},\max(f_{1},f_{2})={\frac {|f_{1}-f_{2}|+(f_{1}+f_{2})}{2}}\in {\mathcal {A}},\min(f_{1},f_{2})=-\max(-f_{1},-f_{2})\in {\mathcal {A}}}$。 ${\displaystyle \square }$

引理E：对于紧致豪斯多夫空间${\displaystyle X}$和闭晶格${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {R} )}$，如果${\displaystyle f\in C(X,\mathbb {R} )}$，且对于所有${\displaystyle x,y\in X}$，存在${\displaystyle g_{xy}\in {\mathcal {A}}}$使得${\displaystyle g_{xy}(x)=f(x),g_{xy}(y)=f(y)}$，那么${\displaystyle f\in {\mathcal {A}}}$。

证明： 给定${\displaystyle \epsilon >0}$，对于所有${\displaystyle x,y\in X}$，令${\displaystyle U_{xy}=\{z\in X:f(z)<g_{xy}(z)+\epsilon \},V_{xy}=\{z\in X:f(z)>g_{xy}(z)-\epsilon \}}$。那么根据条件，对于所有${\displaystyle x,y\in X}$，${\displaystyle x,y\in U_{xy}\cap V_{xy}}$。于是对于任意${\displaystyle y\in X}$，${\displaystyle {\left\{U_{xy}\right\}}_{x\in X}}$是一个${\displaystyle X}$的开覆盖。因此存在${\displaystyle n_{y}\in \mathbb {N} }$使得${\displaystyle X=\bigcup _{j=1}^{n_{y}}U_{x_{j}y}}$。注意到这等价于对所有${\displaystyle z\in X}$，存在一个${\displaystyle j=1,\cdots ,n_{y}}$使得${\displaystyle f(z)<g_{x_{j}y}(z)+\epsilon }$。于是，如果令${\displaystyle g_{y}(z)=\max _{j=1,\cdots ,n_{y}}g_{x_{j}y}(z)}$，那么对于所有${\displaystyle z\in X,f(z)<g_{y}(z)+\epsilon }$且对于所有${\displaystyle z\in \bigcap _{j=1}^{n_{y}}V_{{x_{j}}y},f(z)>g_{y}(z)-\epsilon }$。令${\displaystyle V_{y}=\bigcap _{j=1}^{n_{y}}V_{x_{j}y}}$，那么因为${\displaystyle \left\{V_{y}\right\}_{y\in X}}$是是一个${\displaystyle X}$的开覆盖。存在${\displaystyle y_{1},\cdots ,y_{m}\in X}$使得${\displaystyle X=\bigcup _{k=1}^{m}V_{y_{k}}}$。令${\displaystyle g=\min _{k=1,\cdots ,m}g_{y_{k}}}$。于是${\displaystyle \lVert f-g\rVert _{\infty ,X}<\epsilon }$。因为${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是个闭晶格，${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}\implies f\in {\mathcal {A}}}$。${\displaystyle \square }$

定理证明：

我们宣称以下等价：

1. 对于所有相异${\displaystyle x,y\in X}$，${\displaystyle {\mathcal {A}}_{xy}=\mathbb {R} ^{2}}$，其中${\displaystyle {\mathcal {A}}_{xy}}$如引理B中所述；
2. ${\displaystyle 1\in {\mathcal {A}}}$；
3. ${\displaystyle {\mathcal {A}}=C(X,\mathbb {R} )}$。

显然，我们有(3)${\displaystyle \implies }$(2)。假设(2)成立，那么${\displaystyle {\mathcal {A}}_{xy}}$就不可能是${\displaystyle {\text{span}}\{(0,1)\},{\text{span}}\{(1,0)\}}$。所以根据引理Ｂ，(1) 成立。假设(1)成立，那么给定任意${\displaystyle f\in C(X,\mathbb {R} )}$以及相异${\displaystyle x,y\in X}$，有${\displaystyle (f(x),f(y))\in \mathbb {R} ^{2}={\mathcal {A}}_{xy}}$，所以存在${\displaystyle g_{xy}\in {\mathcal {A}}}$使得${\displaystyle (f(x),f(y))=(g_{xy}(x),g_{xy}(y))}$。另外，对于${\displaystyle x\in X}$，根据引理B中(2)的等价，存在${\displaystyle g_{x}\in {\mathcal {A}}}$使得对于${\displaystyle g_{x}(x)\neq 0}$。因此${\displaystyle f(x)={\widetilde {g}}(x)}$，其中${\displaystyle {\widetilde {g}}:={\frac {f(x)}{g_{x}(x)}}g_{x}\in {\mathcal {A}}}$。于是，根据引理D以及引理E，${\displaystyle f\in {\mathcal {A}}}$。因为${\displaystyle f\in C(X,\mathbb {R} )}$是任意的，(3)成立。

类似地，我们宣称以下等价：

1. 存在相异${\displaystyle x,y\in X}$，${\displaystyle {\mathcal {A}}_{xy}={\text{span}}{(0,1)},{\text{span}}{(1,0)}}$，其中${\displaystyle {\mathcal {A}}_{xy}}$如引理B中所述；
2. 存在${\displaystyle x_{0}\in X}$使得对于所有${\displaystyle g\in {\mathcal {A}},g(x_{0})=0}$；
3. 存在${\displaystyle x_{0}\in X}$使得${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{g\in C(X,\mathbb {R} ):g(x_{0})=0\}}$。

(1)${\displaystyle \iff }$(2)已由引理B给出且(3)${\displaystyle \implies }$(2)显然。因此，仅须证明(2)${\displaystyle \implies }$(3)。假设(2)成立，那么显然有${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \{g\in C(X,\mathbb {R} ):g(x_{0})=0\}}$。注意到因为${\displaystyle {\mathcal {A}}}$分离相异点，该${\displaystyle x_{0}}$唯一。 给定${\displaystyle g\in C(X,\mathbb {R} )}$且${\displaystyle g(x_{0})=0}$。给定相异${\displaystyle x,y\in X}$，如果${\displaystyle x,y\neq x_{0}}$，那么根据引理B (的证明)，${\displaystyle {\mathcal {A}}_{xy}=\mathbb {R} ^{2}}$，所以存在${\displaystyle g_{xy}\in {\mathcal {A}}}$使得${\displaystyle (g(x),g(y))=(g_{xy}(x),g_{xy}(y))}$。如果${\displaystyle x,y}$其一为${\displaystyle x_{0}}$，那么根据${\displaystyle x_{0}}$的唯一性，${\displaystyle {\mathcal {A}}_{xy}={\text{span}}\{(1,0)\},{\text{span}}\{(0,1)\}}$，因此一样有${\displaystyle g_{xy}\in {\mathcal {A}}}$使得${\displaystyle (g(x),g(y))=(g_{xy}(x),g_{xy}(y))}$。

给定任意${\displaystyle x\in X}$，如果${\displaystyle x=x_{0}}$，那么${\displaystyle g(x_{0})=0(x_{0})}$，其中${\displaystyle 0\in {\mathcal {A}}}$指零函数。如果${\displaystyle x\neq x_{0}}$，那么根据${\displaystyle x_{0}}$的唯一性，存在${\displaystyle g_{x}\in {\mathcal {A}}}$使得${\displaystyle g_{x}(x)\neq 0}$，因此${\displaystyle g(x)={\widetilde {g}}(x)}$，其中${\displaystyle {\widetilde {g}}:={\frac {g(x)}{g_{x}(x)}}g_{x}\in {\mathcal {A}}}$。于是，根据引理D以及引理E，${\displaystyle f\in {\mathcal {A}}}$。因为${\displaystyle f\in C(X,\mathbb {R} )}$是任意的，(3)成立。

非紧致空间[1]

根据亚历山德罗夫紧化(Alexandroff's extension)，可以延伸到非紧致的局部紧致豪斯多夫空间中，叙述如下：

叙述：给定一个非紧致的局部紧致豪斯多夫空间${\displaystyle X}$以及在${\displaystyle X}$在无穷远处消失(vanishes at infinity)的实连续函数集${\displaystyle C_{0}(X,\mathbb {R} )}$ (也就是说，对于任意${\displaystyle \epsilon >0}$，${\displaystyle \{x\in X:|f(x)|\geq \epsilon \}}$是一个紧致集)。如果${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq C_{0}(X,\mathbb {R} )}$使一个分离相异点的闭子代数，那么${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是以下两个情况之一：

1. ${\displaystyle {\mathcal {A}}=C_{0}(X,\mathbb {R} )}$；
2. 存在一个${\displaystyle x_{0}\in X}$使得${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{g\in C_{0}(X,\mathbb {R} ):g(x_{0})=0\}}$。

复数域[1]

在复数域中，包含常数函数${\displaystyle 1}$的闭子代数${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {C} )}$ 并不会都与${\displaystyle C(X,\mathbb {C} )}$相等。不过如果${\displaystyle {\mathcal {A}}}$对于共轭映射${\displaystyle g\mapsto {\bar {g}}}$封闭，那么有类似的结论：

叙述：对于紧致豪斯多夫空间 ${\displaystyle (X,\tau )}$以及分离相异点，且对共轭封闭的的闭子代数${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq C(X,\mathbb {C} )}$，那么${\displaystyle {\mathcal {A}}}$是以下两个情况之一：

1. ${\displaystyle {\mathcal {A}}=C(X,\mathbb {C} )}$；
2. 存在一个${\displaystyle x_{0}\in X}$使得${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{g\in C(X,\mathbb {C} ):g(x_{0})=0\}}$。