黎曼ξ函数

数学中，黎曼ξ函数（英语：Riemann Xi function）是黎曼ζ函数的变型，其定义是为了得到一个简单的泛函方程式。此函数得名于波恩哈德·黎曼。

复平面中的黎曼ξ函数${\displaystyle \xi (s)}$。复平面中的点${\displaystyle s}$，其色彩代表了该点的函数值；较暗的颜色表示其值接近于零，而色调表示了函数值的幅角。

定义

爱德蒙·兰道将黎曼原先小写的ξ函数以被改为大写的Ξ函数（另参见下方），而兰道的小写ξ函数则定义为：^[1]

${\displaystyle \xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s)}$，

其中

• ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$；
• ζ(s)为黎曼ζ函数；
• Γ(s)为伽玛函数。

兰道的小写ζ函数的泛函方程式（或称反射式（英语：reflection formula））为

${\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s)}$。

兰道的大写Ξ函数（loc. cit., §71）为

${\displaystyle \Xi (z)=\xi ({\frac {1}{2}}+zi)}$

遵守泛函方程式：

${\displaystyle \Xi (-z)=\Xi (z)}$。

一如兰道所写（loc. cit., p. 894），Ξ函数即原先的黎曼ξ函数。

函数值

当s为偶数，亦即s = 2n，ξ(s)一般式为

${\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {1}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n^{2}-n)(n-1)!}$

其中B_n为第n个伯努利数。

例如：

${\displaystyle \xi (2)={\pi ^{2} \over 6}}$

级数表示式

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}}$

其中

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]}$

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