黑塞二十七面体

在几何学中，黑塞二十七面体（Hessian polyhedron）是一个复正多面体，其位于${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$复希尔伯特空间中由27个莫比乌斯－坎特八边形组成^[1]，共有27个面、72条三元边^{[注 1]}和27个顶点，是一个自身对偶的多面体^{[注 2][2]}，其可以视为实数空间的四面体在复数空间中的类比^[3]。

黑塞二十七面体

投影到实二维空间的平行投影
类别	复正多面体
对偶多面体	黑塞二十七面体（自身对偶）
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	3{3}3{3}3
性质
面	27个3{3}3
边	72条3{}（英语：Trion (geometry)）
顶点	27
欧拉特征数	F=27, E=72, V=27 （χ=-18）
特殊面或截面
皮特里多边形	十二边形
梵奥斯截面 （英语：Van_Oss_polygon）	12个3{4}2
组成与布局
面的种类	莫比乌斯－坎特八边形
顶点图	3{3}3
边的种类	三元棱（英语：Trion (geometry)）
布局矩阵 （英语：Configuration_(polytope)）	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}27&8&8\\3&72&3\\8&8&27\end{smallmatrix}}\right]}$
对称性
谢泼德群 （英语：Shephard groups）	L3 = 3[3]3[3]3, order 648
特性
正

由于这种形状与黑塞排布共享复排布（英语：Complex configuration）结构，即12条线上有9个点，每条线上有3个点，每个点上有4条线，因此考克斯特将这种形状以路德维希·奥托·黑塞的名字命名。^[5]

黑塞二十七面体是一种位于复数空间的立体，其对应到实数空间同样也有一种实数空间的代表，其为2₂₁多胞体（英语：2_21_polytope），考克斯特表示法计为，其在六维空间中^[1]与黑塞二十七面体共用其27个顶点，其216条边可透过将三元边₃{}替换成3条简单边即可于2₂₁中被观察到。^[6]

性质

黑塞二十七面体由27个全等的莫比乌斯－坎特八边形组成^[1]，共有27个面、72条边和27个顶点^[2]，其72条边皆为三元边，每个边皆连接了3个顶点^[7]；其27个顶点中，每个顶点皆为8个莫比乌斯－坎特八边形的公共顶点，即顶点图为莫比乌斯－坎特八边形，换句话说即黑塞二十七面体是一个自身对偶多面体。^{[注 2][2]}

对称性

其复镜像群（英语：Complex reflection group）为₃[3]₃[3]₃或对称性，阶数为648阶^[1]，这种对称性又可以称为黑塞群（英语：Hessian group）。其在每个顶点有27个副本，阶数为24阶，其有24个三阶反射对称性。其考克斯特数为12，且具有基本不变量3、6和12的度数，其可以在多面体的投影对称性中被观察到。^[6]

顶点坐标

对于λ, μ = 0,1,2，黑塞二十七面体的27个顶点可以在三维的复数空间中给出：^[8]

(0,ω^λ,−ω^μ)

(−ω^μ,0,ω^λ)

(ω^λ,−ω^μ,0)

其中${\displaystyle \omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}$.

面的组成

主条目：莫比乌斯－坎特八边形

黑塞二十七面体，其中一个面以蓝色表示。

黑塞二十七面体由27个全等的莫比乌斯－坎特八边形组成^[1]。莫比乌斯－坎特八边形是一种由8个顶点和8条棱所组成的几何结构，其在施莱夫利符号中可以用₃{3}₃来表示、在考克斯特记号中可以用来表示。与一般的八边形不同，莫比乌斯－坎特八边形位于复希尔伯特平面，且构成这种形状的棱每个棱阶连接了三个顶点，称为三元棱或三元边（Trion），这种几何结构在施莱夫利符号中可以用₃{}来表示。^[9]

莫比乌斯－坎特八边形的正投影图

考克斯特平面	B4		F4
图
对称性	[8]		[12/3]

正交投影

黑塞二十七面体有8种具有特殊对称性的正交投影。其中重合的顶点以不同颜色表示，其72个三元边被绘制为3条一般的边。其中，第一种代表了E₆的考克斯特平面^[1]。

考克斯特平面正交投影

E6 [12]	Aut(E6) [18/2]	D5 [8]	D4 / A2 [6]
(1=红,3=橘)	(1)	(1,3)	(3,9)
B6 [12/2]	A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]
(1,3)	(1,3)	(1,2)	(1,4,7)

用途

部分研究中，此形状用于表示标准模型中一些基本粒子的关系^[10]。

相关多面体及其他几何结构

以亚历山大·威廷（英语：Alexander Witting）命名的复空间四维正多胞体——威廷二百四十胞体（英语：Witting polytope）是一种由240个黑塞二十七面体所组成的四维正多胞体，其胞和顶点图皆为黑塞二十七面体。^[11]

参见

• 双黑塞二十七面体
• 截半黑塞二十七面体