黑格纳数

黑格纳数（Heegner number）指满足以下性质，非平方数的正整数：其虚二次域Q(√−d)的类数为1，亦即其整数环为唯一分解整环^{[注解 1][1]}。

黑格纳数只有以下九个： 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。（OEIS数列A003173）

高斯曾猜测符合上述特性的数只有九个，但未提出证明，1952年库尔特·黑格纳（英语：Kurt Heegner）提出不完整的证明，后来由哈罗德·斯塔克提出完整的证明，即为斯塔克–黑格纳定理（英语：Stark–Heegner theorem）。

欧拉的质数多项式

欧拉的质数多项式如下：

${\displaystyle n^{2}+n+41,\,}$

在n = 1, ..., 40时会产生不同的40个质数，这相关于黑格纳数163 = 4 · 41 − 1.

欧拉公式，${\displaystyle n}$取值为1,... 40和以下的多项式

${\displaystyle n^{2}+n+41,\,}$

让${\displaystyle n}$取值0,... 39时等效，而Rabinowitz^[2]证明了

${\displaystyle n^{2}+n+p\,}$

在${\displaystyle n=0,\dots ,p-2}$时，多项式为质数的充份必要条件为其判别式${\displaystyle 1-4p}$等于负的黑格纳数。

（若代入${\displaystyle p-1}$会得到${\displaystyle p^{2}}$一定不是质数，因此最大值只能取到${\displaystyle p-2}$）

1, 2和3不符合要求，因此符合条件的黑格纳数为${\displaystyle 7,11,19,43,67,163}$，也就表示可以让欧拉公式产生质数的p为${\displaystyle 2,3,5,11,17,41}$，这些数字被弗朗索瓦·勒·利奥奈（英语：François Le Lionnais）称为欧拉的幸运数（英语：lucky numbers of Euler）^[3]。

拉马努金常数

拉马努金常数是${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$的值，是超越数^[4]，但非常接近整数：

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262,537,412,640,768,743.999\ 999\ 999\ 999\ 25\ldots }$

这个数字是在1859年由数学家夏尔·埃尔米特发现^[5]，在1975年愚人节的《科学美国人》^[6]，《数学游戏》的专栏作家马丁·加德纳故意声称这个数字其实是整数，而印度数学天才斯里尼瓦瑟·拉马努金也预测了这个数很接近整数，因此以他的名字来命名。

这个巧合可以用j-invariant（英语：j-invariant）的复数乘法（英语：complex multiplication）及q展开来表示。