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68–95–99.7法则

統計學法則 来自维基百科,自由的百科全书

68–95–99.7法則
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统计上,68–95–99.7法则(68–95–99.7 rule)是在正态分布中,距平均值小于一个标准差、二个标准差、三个标准差以内的百分比,更精确的数字是68.27%、95.45%及99.73%。若用数学用语表示,其算式如下,其中X为正态分布随机变量的观测值,μ为分布的平均值,而σ为标准差:

Thumb
正态分布下,和平均值偏离一个标准差以内的数据会占68.27%,偏离二个标准差以内的数据会到95.45%,偏离三个标准差以内的数据会到99.73%。
Thumb
x轴为标准分数,y轴是比标准分数接近平均值之内的比例。y轴是对数长度

在实验科学中有对应正态分布的三西格马法则(three-sigma rule of thumb),是一个简单的推论,内容是“几乎所有”的值都在平均值正负三个标准差的范围内,也就是在实验上可以将99.7%的概率视为“几乎一定”[1]。不过上述推论是否有效,会视探讨领域中“显著”的定义而定,在不同领域,“显著”(significant)的定义也随着不同,例如在社会科学中,若置信区间是在正负二个标准差(95%)的范围,即可视为显著。但是在粒子物理中,若是发现英语Discovery (observation)新的粒子,置信区间要到正负五个标准差(99.99994%)的程度。

在不是正态分布的情形下,也有另一个对应的三西格马法则(three-sigma rule),即使是在非正态分布的情形下,至少会有88.8%的概率会在正负三个标准差的范围内,这是依照切比雪夫不等式的结果。若是单模分布(unimodal distributions)下,正负三个标准差内的概率至少有95%,若一些符合特定条件的分布,概率至少会到98%[2]

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数值表

由于正态分布含有指数项的特性,超出某个标准差范围的概率会随着该范围的扩大而大幅减小。假如某实验每天进行一次,则实验结果超出某标准差范围的频率可列为下表:

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参考文献

参见

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