Hautus引理

Hautus引理（Hautus lemma）是在控制理论以及状态空间下分析线性时不变系统时，相当好用的工具，得名自Malo Hautus^[1]，最早出现在1968年的《Classical Control Theory》及1973年的《Hyperstability of Control Systems》中 ^[2][3]，现今在许多的控制教科书上可以看到此引理。

主要结果

有许多有关引理的不同型式。

可控制性Hautus引理

可控制性Hautus引理提到若给定一方阵${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$及${\displaystyle \mathbf {B} \in M_{n\times m}(\Re )}$，以下几个式子等效：

1. ${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$对具有可控制性
2. 针对所有的${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$，下式都成立 ${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n}$
3. 针对所有${\displaystyle \mathbf {A} }$的特征值${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$，下式都成立 ${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n}$

可稳定性Hautus引理

可稳定性Hautus引理提到若给定一方阵${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$及${\displaystyle \mathbf {B} \in M_{n\times m}(\Re )}$，以下几个式子等效：

1. ${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$对具有可稳定性
2. 针对所有${\displaystyle \mathbf {A} }$的特征值${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$，而且满足${\displaystyle \Re (\lambda )\geq 0}$，下式都成立${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n}$

可侦测性Hautus引理

可侦测性Hautus引理提到若给定一方阵${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$及${\displaystyle \mathbf {C} \in M_{m\times n}(\Re )}$，以下几个式子等效：

1. ${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {C} )}$对具有可侦测性
2. 针对所有${\displaystyle \mathbf {A} }$的特征值${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$，而且满足${\displaystyle \Re (\lambda )\geq 0}$，下式都成立${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {C} ]=n}$