K类函数

${\displaystyle {\mathcal {K}}}$类函数（Class kappa function）也称为是在控制理论中判断非自治系统（nonautonomous system）是否稳定时会用到的一类函数，会将其他函数和${\displaystyle {\mathcal {K}}}$类函数比较，以确认系统的稳定性。

连续函数${\displaystyle \alpha :[0,a)\rightarrow [0,\infty )}$若满足以下条件，则属于${\displaystyle {\mathcal {K}}}$类函数：

• 函数严格递增。
• 函数满足${\displaystyle \alpha (0)=0}$。

连续函数${\displaystyle \alpha :[0,a)\rightarrow [0,\infty )}$若满足以下条件，则属于${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\infty }}$类函数：

• 函数属于${\displaystyle {\mathcal {K}}}$类函数。
• 函数的定义域范围可以到无限大，${\displaystyle a=\infty }$.
• 函数满足${\displaystyle \lim _{r\rightarrow \infty }\alpha (r)=\infty }$.

若一非递减的正定函数${\displaystyle \beta }$满足所有${\displaystyle {\mathcal {K}}}$类（或${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\infty }}$类）函数的条件，只有严格递增条件不满足，可以用以下的方式让此函数的上下界用${\displaystyle {\mathcal {K}}}$类（或${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\infty }}$类）函数来表示：

${\displaystyle \beta (x){\frac {x}{x+1}}<\beta (x)<\beta (x)\left({\frac {x}{x+1}}+1\right)=\beta (x){\frac {2x+1}{x+1}},\qquad x\in (0,a).\,}$

K L {\displaystyle {\mathcal {KL}}} 类函数

连续函数${\displaystyle \beta :[0,a)\times [0,\infty )\rightarrow [0,\infty )}$若满足以下条件，则属于${\displaystyle {\mathcal {KL}}}$类函数：

• 对于每一个固定的${\displaystyle s}$，函数${\displaystyle \beta (r,s)}$属于${\displaystyle {\mathcal {K}}}$类函数
• 对于每一个固定的${\displaystyle r}$，函数${\displaystyle \beta (r,s)}$会随着${\displaystyle s}$递减，而且当${\displaystyle s\rightarrow \infty }$时，${\displaystyle \beta (r,s)\rightarrow 0}$。

参考资料

• H. K. Khalil, Nonlinear systems, Prentice-Hall 2001. Sec. 4.4 - Def. 4.2.