超对称杨-米尔斯理论

在物理学中，超对称杨-米尔斯 (SYM) 理论跟杨-米尔斯理论、弦理论、共形理论、共形对称、超对称有关。^[1]

四维（N=4）

N=4超杨米理论的拉格朗日量是^[2]

${\displaystyle L=\operatorname {tr} \left\{-{\frac {1}{2g^{2}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {\theta _{I}}{8\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }{\bar {F}}^{\mu \nu }-i{\overline {\lambda }}^{a}{\overline {\sigma }}^{\mu }D_{\mu }\lambda _{a}-D_{\mu }X^{i}D^{\mu }X^{i}+gC_{i}^{ab}\lambda _{a}[X^{i},\lambda _{b}]+g{\overline {C}}_{iab}{\overline {\lambda }}^{a}[X^{i},{\overline {\lambda }}^{b}]+{\frac {g^{2}}{2}}[X^{i},X^{j}]^{2}\right\},}$

${\displaystyle F_{\mu \nu }^{k}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{k}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{k}+f^{klm}A_{\mu }^{l}A_{\nu }^{m}}$

i, j =1,...,6

a, b =1,...,4

${\displaystyle f}$ 是杨米尔斯规范群的结构常数

${\displaystyle C_{i}^{ab}}$ 是SU(4)的结构常数

由于非重整化定理，这是一个超共形场论。

十维

N=10的拉氏量是

${\displaystyle L=\operatorname {tr} \left\{{\frac {1}{g^{2}}}F_{IJ}F^{IJ}-i{\bar {\lambda }}\Gamma ^{I}D_{I}\lambda \right\}+\theta _{I}dCS_{9}^{I}}$

I, J = 0, ..., 9

${\displaystyle \Gamma ^{I}}$ 是32x32的矩阵 ${\displaystyle (32=2^{10/2})}$

${\displaystyle \theta _{I}}$ 是陈类，CS9是9维的陈-西蒙斯形式（陈-西蒙斯理论）。

应用

• S对偶的耦合常数：

${\displaystyle \tau ={\frac {\theta }{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}.}$

• AdS/CFT对偶、全像原理、类型IIB弦理论、量子引力

• 大N展开^[3]、平面杨米尔斯理论、 ${\displaystyle N^{2-2g}}$的费曼图 ^[4]
• Yangian^[5]
• 扭量理论、格拉斯曼流形
• 11维M理论、${\displaystyle N\rightarrow \infty }$