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P进赋值

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P進賦值
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数论上,一个整数np进赋值指的是能除尽n质数p的最高次方,一般记做。一个等价的定义是,n的质因数分解中p的次方数。

p进赋值是一个赋值,且其赋值可作为常规绝对值的类比。就如常规绝对值有理数实数中的完备化一般,p绝对值有理数P进数.[1]

Thumb
自然数在2进赋值中的分布,并加上十进制中的2的次方做标签;0的赋值为无限。
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定义与性质

以下假定p质数

整数

整数np进赋值定义如下:

其中自然数的集合,而代表可被整除。特别地,的定义域及值域如次:.[2]

像例如说,, ,而 since

这符号有时用以表示[3]

是一个正整数,那么有

而这可由直接推得。

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有理数

p进赋值可以下述函数的形式延伸到有理数上:

[4][5]

其定义如下:

像例如说,,而这是因为之故。

有理数上的赋值其中一些性质如下:

此外,若,那么

其中是最小值(也就是两者中较小者)。

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p进绝对值

有理数p绝对值定义如下:

而其定义为

因此对所有的而言,;而一个p进绝对值的例子如次: and

p进绝对值满足下列性质:

非负性
正定性
积性
非阿基米德性

积性可知,对于单位根而言,,因此这表示说;而次可加性可由非阿基米德三角不等式得出。

这个的基底p的选取不会影响其性质;然而有以下的性质:

其中此乘积遍历所有的质数p及常规绝对值,而此处常规绝对值记做

这项可由质因数分解得出:质因数的幂会成为相对应的p进绝对值的倒数;而将之乘以常规绝对值后,这些倒数项会被消去。

一些人可能会将p进绝对值给称为“p进范数”;[来源请求]然而因其不满足齐次性之故,因此并非真正的范数

一个度量空间可用如下(非阿基米德平移对称英语Translational symmetry的)度量由生成:

其定义为

以此度量对有理数所做的完备化p进数的集合

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参见

参考资料

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