YBC 7289

YBC 7289是一片古巴比伦黏土板，其上以六十进制记载了单位正方形的对角线长${\displaystyle {\sqrt {2}}}$的准确估计值，所以备受关注。这个六十进制近似数换算成十进制相当于估算${\displaystyle {\sqrt {2}}}$到六位有效数字，这个近似数被称为“古典世界中...目前已知估算精度最高的近似数”。^[1] 这片黏土板据信是一位南美索不达米亚地区的学生的作品，作成的时间大概在公元前18世纪到公元前17世纪，被J·P·摩根连同其它一些古巴比伦黏土板捐给耶鲁大学收藏，“YBC”是收纳这件文物的耶鲁-巴比伦典藏库（英语：Yale Babylonian Collection）（英语：Yale Babylonian Collection）的名字缩写，“7289”是这件文物在其中的编号。

YBC 7289

内容

黏土板上记有一个画着其两条对角线的正方形，正方形的一侧被标上了六十进制数字“30”，对角线被标上两个六十进制数字：

1. 第一个六十进制数${\textstyle 1;24,51,10}$，转换为十进制表示是${\textstyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}\approx 1.414213}$，这个数的估算误差小于两百万分之一^[2]；
2. 第二个六十进制数是${\textstyle 42;25,35}$，即十进制的${\textstyle 42+{\frac {25}{60}}+{\frac {35}{60^{2}}}=42.426}$。这个数是上一给定数乘以30的积，即是对边长为30的正方形的对角线长的估算^[2]。

因为巴比伦的六十进制计数法在进位方面并不明确，另一种解释是方形边长是${\textstyle {\frac {30}{60}}={\frac {1}{2}}}$。这么解释的话，对角线上的数是${\textstyle {\frac {30547}{43200}}=0.70711}$，即${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$的近似估计值，估计的误差也比二百万分一还小。^[2]

大卫·福勒（英语：David Fowler (mathematician)）和埃莉诺·罗宾逊（英语：Eleanor Robson）如此写道，“这样我们就有了一个藉几何解释的倒数对（英语：a reciprocal pair of numbers）...”。他们指出，尽管这种解释在和倒数的关键性^{[注 1]}联系起来后，很吸引人，但仍应谨慎对待这一说法。^[2]

黏土板反面被部分抹掉了，但罗宾逊认为它记载了类似的题目，题目有关一个边长和对角线长为勾股数${\displaystyle (3,4,5)}$的矩形。^[3]

呈现形式

尽管YBC 7289经常以沿着对角线的方向示人^{[注 2]} ，巴比伦人画正方形时约定俗成，各边水平竖直绘制，带有数字的边在图顶部^[4]。这块小黏土板浑圆的形状和上面的大字体具有演算草稿的特征，这种泥板特征很典型，是被用来协助演算困难问题的，学生在使用时可握于掌中^[1][2]。

这名学生好像是从另一块黏土板上抄来了${\displaystyle {\sqrt {2}}}$的六十进制值，但这个逐步的演算过程见于另一块巴比伦黏土板BM 96957 + VAT 6598上^[2]。

在1945年，奥托·纽格伯尔和亚伯拉罕·萨克斯（英语：Abraham Sachs）最早发现泥板的数学意义^[2][5]。“这块泥板呈现给我们古典时代全世界最高的计算精度”，精度相当于六位十进制有效数字。^[1]其它黏土板有关于计算六边形和七边形面积的，用到了${\displaystyle {\sqrt {3}}}$这种更复杂的代数数的估算值。^[2]这样精确的一个√3的估计可解释，古埃及人在建设金字塔时计算各维度的尺寸时为何这么准确。YBC 7289上所写的数字精度更高，所以很明确的是上记的各种代数数的近似值是一种寻常计算的结果，而不只是一个估计值^[6]。

托勒密在《天文学大成》一书中亦应用了巴比伦人对${\displaystyle {\sqrt {2}}}$的六十进制${\displaystyle 1;24,51,10}$估计值^[7][8]。托勒密没说他的这个值是从哪里来的，也许这个值当时已经是人尽皆知了^[7]。

黏土板的发掘和策展

现在已经无从考证YBC 7289从美索不达米亚的何处而来，但它的形状和书写风格像是美索不达米亚南部的，其作成时间作成的时间在公元前18世纪到公元前16世纪间^[1][2]。

1909年，耶鲁大学从巴比伦黏土板藏家J·P·摩根处获捐这些文物，从他宅邸运来的这些遗赠组成了耶鲁巴比伦典藏^[1][9]。 耶鲁的文化遗产保育学院已经为泥板建立了数字模型，可用于3D打印^[9][10][11]。