由上下取整函数的定义,可见
等号当且仅当为整数,即
实际上,上取整与下取整函数作用于整数,效果等同恒等函数:
自变量加负号,相当于将上取整与下取整互换,外面再加负号,即:
且:
至于小数部分,自变量取相反数会使小数部分变成关于1的“补数”:
上取整、下取整、小数部分皆为幂等函数,即函数叠代两次的结果等于自身:
而多个上取整与下取整依次叠代的效果,相当于最内层一个:
因为外层取整函数实际衹作用在整数上,不带来变化。
若和为正整数,且,则
若为正整数,则
若为正数,则
代,上式推出:
更一般地,对正整数,有埃尔米特恒等式:[5]
对于正整数,以下两式可将上下取整函数互相转化:
对任意正整数和,有:
作为特例,当和互质时,上式简化为
此等式可以几何方式证明。又由于右式关于、对称,可得
更一般地,对正整数,有
上式算是一种“互反律”(reciprocity law),与§ 二次互反律有关。