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三角不等式

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在三角形中,两条边的长度之和总是大于第三边。
在三角形中,两条边的长度之和总是大于第三边。
证明所用的三角形
证明所用的三角形

三角不等式数学上的一个不等式,表示从A到B再到C的距离永不少于从A到C的距离;亦可以说是两项独立物件的量之和不少于其和的量。它除了适用于三角形之外,还适用于其他数学范畴及日常生活中。

几何

标量

在三角形ABC中,这个式子用标量可以写作

当该式取不等号时,可以由欧几里得第五公设导出;欧几里得给出的证明记载于《几何原本》第一卷命题20:(证明所用的辅助图像见右)[1]

现在,我们有三角形ABC。延长至点D,并使,联结

那么,三角形BCD为等腰三角形,所以。记它们均为

根据欧几里得第五公设,角也就是大于角,也就是);

由于角对应边,角对应边,因此(大角对大边,命题19)。[2]

又由于,所以,即证。

如果我们将该式左右各减去,便能得到,这便是三角不等式的另一种表达方法:三角形的两边之差小于第三边

当该式取等号的时候,其已经不属于欧氏几何的范畴,这种情况只有可能在球面三角形中出现,此时,而a, b, c为三角形三边的长。

向量

向量的写法,这个不等式可以写成:

上式和标量的写法明显是等价的。

考虑到,该式也可以写成:,这种情况的形式和下方实数中的形式是一致的。

如果根据向量构建平面直角坐标系,则可以用代数的方式予以证明。

还是以右图中的三角形为例子。假设在坐标系中,向量的方向向量为,向量的方向向量为

那么因为,得向量的方向向量为

因此,

所以,

两者相减再配方,得到,该式实际上是的值。

当且仅当时,该式的值为0,而此时我们可以推出,这说明都是平行的。而由于,也就是向量的终点和,也就是向量的起点是相同的,显然共线。这种情况在欧氏几何中是不可能的,只有在非欧几何的情况下才能成立。用平行也一样能够推出共线。

其他任何情况,也就是时,该式取到不等号,适用于欧氏几何。

将向量形式的三角不等式两边减去相同的向量,同样能够推出三角形的两边之差小于第三边。

实数

在实数中,此式依然成立:

证明如下:

考虑到实数的平方必然是非负数,将两边平方,使它剩下一套绝对值符号:

对于(即a, b彼此异号),

对于(即a, b彼此同号),

像几何中的情况一样,该式的推论为:

反方向

闵可夫斯基空间,三角不等式是反方向的:

||x + y|| ≥ ||x|| + ||y||     对所有 x, y V,使得||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ 0 和 tx ty ≥ 0

这个不等式的物理例子可以在狭义相对论中的双生子佯谬找到。

参见

参考文献

  1. ^ Euclid's Elements, Book I, Proposition 20. mathcs.clarku.edu. [2018-07-09]. (原始内容存档于2017-08-15). 
  2. ^ Euclid's Elements, Book I, Proposition 19. mathcs.clarku.edu. [2018-07-09]. 
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