凸函数
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凸函数(英文:Convex function)是指函数图形上,任意两点连成的线段,皆位于图形的上方的实值函数,[1]如单变数的二次函数和指数函数。二阶可导的一元函数为凸,当且仅当其定义域为凸集,且函数的二阶导数在整个定义域上非负。直观理解,凸函数的图像形如开口向上的杯,而相反,凹函数则形如开口向下的帽。
在最优化研究中,凸函数的最小化问题有唯一性,即凸开集上的严格凸函数,至多只有一个极小值。
概率论中,凸函数作用在某随机变量期望值所得的结果,总不大于对随机变量先取函数值再取期望,即
称为延森不等式。该不等式可以推导出均值不等式及赫尔德不等式等结果。
- 注意:中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。但在中国大陆涉及经济学的很多书中,凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的,也就是和数学教材是反的。举个例子,同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反,本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集,而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集,两者定义正好相反。