在抽象代数中,分裂四元数(split-quaternions)或反四元数(coquaternions)是一种四维的结合代数的元素,由James Cockle在1849年引入,当时称为反四元数。 类似于汉密尔顿1843年引入的四元数 ,它们组成了一个四维的实向量空间,且有乘法运算。 与四元数不同,分裂四元数包含非平凡的零因子、幂零元和幂等元。(例如, 是幂等的零因子,而 是幂零元。)作为一种数学结构,分裂四元数形成了域代数,且与2 × 2的实矩阵同构。
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分裂四元数乘法
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集合 组成一个基。 这些元素的积由
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给出。因此。 由以上定义可得,集合在分裂四元数乘法的定义下是一个群,与二面体群同构,称为正方形的对称群。
分裂四元数的共轭。
由于其基向量的反交换性,分裂四元数与其共轭的积由其迷向二次型
给出。
给定两个反四元数和,有,意味着 是可合成的二次型。 其上的代数是一种合成代数, 是其范数。 任何满足,的反四元数q称为零向量(Null vector而非Zero vector),它的存在意味着反四元数形成"分裂的合成代数",因此反四元数也被称为分裂四元数。
当范数非零时,有倒数,即 . 集合
是单位元的集合。 全体分裂四元数的集合组成环 ,其单位群为。全体的分裂四元数组成一个非紧致的拓扑群 ,且与同构(见下)。
历史上讲,分裂四元数早于凯莱的矩阵代数;分裂四元数(及四元数和双复数)引发了对线性代数的深入研究。