列维-奇维塔符号
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列维-奇维塔符号(Levi-Civita symbol),又称列维-奇维塔ε,为一在线性代数,张量分析和微分几何等数学范畴中常见到的符号。对于正整数 n ,它以1, 2, ..., n 所形成排列的奇偶性来定义。它以义大利数学家和物理学家图利奥·列维-齐维塔命名。其他名称包括排列符号、反对称符号与交替符号。这些名称与它排列和反对称的性质有关。
列维-奇维塔符号的标准记号是希腊小写字母 ε 或 ϵ ,较不常见的也有以拉丁文小写 e 记号。下标符能与张量分析兼容的方式来显示排列:
其中每个下标指标 a1, a2, ..., an 取值介乎 1 到 n 。在 εa1a2...an 中,共有 nn 个指标排列,可以排成为一个 n 维阵列。
当任何两个指标相等,则定义符号值等于 0 :
- ;
当全部指标都不相等时,我们定义:
- ,
其中 p 称为“排列的奇偶性” (parity of permutation),是要将 a1, a2, ..., an 变换成自然次序 1, 2, ..., n ,所需的对换次数。而因子 (−1)p 被称为“排列正负号” (signum of permutation)。这里, ε12...n 的值必须有定义,否则其他特定排列的符号值将无法确定。大多数作者选择 +1 作为自然次序的值:
- 。
在本文中,也将使用这个定义。
从定义可知,当任何两个指标互换,则须加上负号:
- 。
这称为“完全反对称性”。
“n 维列维-奇维塔符号”一词是指符号上的指标数 n ,和所讨论的向量空间维度相符,其中可指欧几里得空间或非欧几里得空间,例如 R3 的 n = 3 或闵可夫斯基空间的 n = 4 。
列维-奇维塔符号的值,与参考座标系无关。此外,这里使用“符号”一词。强调了它并不是一个张量;然而,它可以被理解为张量的密度。