古尔丁定理

古尔丁定理（英语：Guldinus theorem）^{[注 1]}，最初由古希腊的帕普斯发现，后来在16世纪保罗·古尔丁（英语：Paul Guldin）又重新发现了这个定理。

表面积

• 有一条平面曲线，跟它的同一个平面上有一条轴。由该平面曲线以该条轴与旋转而产生的旋转曲面的表面积${\displaystyle A}$，等于曲线的长度${\displaystyle s}$乘以曲线的几何中心经过的距离${\displaystyle d_{1}}$：${\displaystyle A=sd_{1}}$。

1. 例：设环面圆管半径为${\displaystyle r}$，圆管中心到环面中心距离为${\displaystyle R}$，把环面看成上面提到的曲线，其几何中心是圆管中心。所以环面表面积为${\displaystyle (2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}rR}$

若有平面连续曲线${\displaystyle y=f(x)}$，求${\displaystyle x}$在${\displaystyle [a,b]}$时，曲线以${\displaystyle x}$轴旋转所得的曲面表面积。可考虑一小段曲线，其几何中心便是${\displaystyle y}$，曲线长度为${\displaystyle {\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}}$，因此这个曲面的表面积便是：

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\;\mathrm {d} x}$。

体积

• 由平面形状绕和它的同一个平面上的轴旋转而产生的旋转体的体积${\displaystyle V}$，等于平面形状面积${\displaystyle S}$乘以平面形状的几何中心经过的距离${\displaystyle d_{1}}$的积：${\displaystyle V=Sd_{1}}$。

再考虑一般平面曲线下的面积的情况，可得旋转体体积${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}y^{2}\;\mathrm {d} x}$。

注释

1. 又称帕普斯几何中心定理(Pappus centroid theorem)、古鲁金定理、巴普斯定理。