四元数(英语:Quaternion)是由爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿在1843年创立出的数学概念。通常记为H,或。
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Quick Facts 四元数, 符号 ...
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从明确地角度而言,四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话,四元数则代表著一个四维空间,相对于复数为二维空间。
作为用于描述现实空间的坐标表示方式,人们在复数的基础上创造了四元数并以a+bi+cj+dk的形式说明空间点所在位置。
i、j、k作为一种特殊的虚数单位参与运算,并有以下运算规则:i0=j0=k0=1,i2=j2=k2=-1
对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转,其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转,j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转,k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转,-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。
四元数不像实数或复数那样,它的乘法是不可交换的,例如:
- ;
- ;
- 。
四元数是除法环的一个例子。除了没有乘法的交换律外,除法环与域是相类的。特别地,乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有唯一的逆元素。
四元数形成一个在实数上的四维结合代数(事实上是除法代数),并包括复数,但不与复数组成结合代数。
四元数(以及实数和复数)都只是有限维的实数结合除法代数。
四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果,例如四元数的 n-阶多项式能有多于 n 个不同的根。
例如方程式 就有无数多个解。
只要是符合 的实数,那么 就是一个解。
一个四元数 的共轭值定义为:
而它的绝对值则是非负实数,定义为:
注意,一般状况下不等于。
四元数的乘法逆可以算得。
透过使用距离函数 ,四元数便可成为同胚于 的度量空间,
并且有连续的算术运算。另外,对于所有四元数和皆有 。
若以绝对值为模,则四元数可组成一实数 巴拿赫空间。
非零四元数的乘法群在R3的实部为零的部分上的共轭作用可以实现转动。单位四元数(绝对值为1的四元数)若实部为cos(t),它的共轭作用是一个角度为2t的转动,转轴为虚部的方向。四元数的优点是:
- 表达式无奇点(和例如欧拉角之类的表示相比)
- 比矩阵更简炼(也更快速)
- 单位四元数的对可以表示四维空间中的一个转动。
所有单位四元数的集合组成一个三维球S3和在乘法下的一个群(一个李群)。S3是行列式为1的实正交3×3正交矩阵的群SO(3,R)的双重复盖,因为每两个单位四元数通过上述关系对应于一个转动。群S3和SU(2)同构,SU(2)是行列式为1的复酉2×2矩阵的群。令A为形为a + bi + cj + dk的四元数的集合,其中a, b, c和d或者都是整数或者都是分子为奇数分母为2的有理数。集合A是一个环,并且是一个格。该环中存在24个四元数,而它们是施莱夫利符号为{3,4,3}的正二十四胞体的顶点。
有两种方法能以矩阵表示四元数,并以矩阵之加法、乘法应用于四元数之加法、乘法。
第一种是以二阶复数矩阵表示。四元数的三个元素i、j、k采用矩阵表示法(其中斜体字为;σx、σy、σz为泡利矩阵):
- 。
则任意四元数h = a + bi + cj + dk的矩阵形式为:
这种表示法有如下优点:
- 使b = d = 0,可回归到一复数h = a + cj,相应于一个实矩阵。(参见复数的矩阵表达式。)
- 四元数的绝对值平方就等于矩阵的行列式。
- 四元数的共轭值就等于矩阵的共轭转置。
- 对于单位四元数 (|h| = 1) 而言,这种表示方式给了四维球体和SU(2)之间的一个同型,而后者对于量子力学中的自旋的研究十分重要。(参见泡利矩阵)
第二种则是以四阶实数矩阵表示(相当与把上述表示中的复数再换成其矩阵表示):
其中四元数的共轭等于矩阵的转置,模的四次方等于矩阵的行列式。
四元数运算在电动力学与广义相对论中有广泛的应用。四元数可以用来取代张量表示。有时候采用带有复数元素之四元数会比较容易,导得结果不为除法代数之形式。然而亦可结合共轭运算以达到相同的运算结果。
此处仅讨论具有实数元素之四元数,并将以两种形式来描述四元数。其中一种是向量与纯量的结合,另一形式两个创建量(constructor)与双向量(bivector;i、j与k)的结合。
定义两个四元数:
其中表示矢量<b, c, d>,而表示矢量<x, y, z>.