定理 - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for 定理.

定理

维基百科,自由的百科全书

此条目没有列出任何参考或来源。 (2017年8月12日)维基百科所有的内容都应该可供查证。请协助添加来自可靠来源的引用以改善这篇条目。无法查证的内容可能被提出异议而移除。

定理(英语:Theorem)是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。一般来说,在数学中,只有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。一个定理陈述一个给定类的所有(全称)元素一种不变的关系,这些元素可以是无穷多,它们在任何时刻都无区别地成立,而没有一个例外。(例如:某些,某些,就不能算是定理)。

猜想是相信为真但未被证明的数学叙述,或者叫做命题,当它经过证明后便是定理。猜想是定理的来源,但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述可以不经过成为猜想的过程,成为定理。

如上所述,定理需要某些逻辑框架,继而形成一套公理公理系统)。同时,一个推理的过程,容许从公理中引出新定理和其他之前发现的定理。

命题逻辑,所有已证明的叙述都称为定理。

各种数学叙述(按重要性来排列)

  1. 数学原理
  2. 公理(也称公设)-公理是没有经过证明,但被当作不证自明的一个命题
  3. 定理
  4. 命题-通常,命题是一个可以判断陈述句,亦有既的命题(悖论)。
  5. 推论(也称系、系理)-一个从定理随之而即时出现的叙述。若命题B可以很快、简单地推导出命题A,命题A为命题B的推论。
  6. 引理(也称辅助定理补理)-某个定理的证明的一部分的叙述。它并非主要的结果。引理的证明有时还比定理长,例如舒尔引理
  7. 假说-根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明。

结构

定理一般都有许多条件。然后有结论——一个在条件下成立的数学叙述。通常写作“若条件,则结论”。用符号逻辑来写就是条件→结论。而当中的证明不视为定理的成分。

逆定理

若存在某叙述为,其逆叙述就是。逆叙述成立的情况是,否则通常都是倒果为因,不合常理。若果叙述是定理,其成立的逆叙述就是逆定理

  • 若某叙述和其逆叙述都为真,条件必要且充足。
  • 若某叙述为真,其逆叙述为假,条件充足。
  • 若某叙述为假,其逆叙述为真,条件必要。

逻辑中的定理

逻辑语言中的定理表示的是一个公式集合,并且该公式集合中的每一个公式都代表着知识的一个片段,由此我们可以给定理一个更准确的表达(这里所说的定理指的是在一阶逻辑中的定理,通常来说任意一个命题集合往往不一定是定理)。定理在逻辑中的定义︰

一个定理是一个含有由建立于语言集合上的命题(-命题)组成的非空集合

这个定理(或这个命题集合)我们记作,这些建立于语言集合上的命题必须符合如下属性:

对所有在中的命题,如果,那么

比如一个永真命题集合是一个定理,这个永真命题集合被包含在所有建立在语言集合上的定理中。此外,我们说一个定理是另外一个定理扩展(extension),前提是该定理包含定理


有一个命题集合,我们将一个包含的集合记作,那么 。显而易见,所以是一个定理。比如我们有一个集合有三个基于语言上的命题,其中是常数符号,是函数符号。三个命题如下:

那么如果有,则的定理。当然,如果是两个命题集合且满足,那么


我们说一个定理完整的(Complete),当且仅当对于和一样构建在同样语言集合上的所有命题,要么,要么

注意:这个概念不能和定理完备性(Completude)混淆,完备性是证明在定理中的永真命题是递推可枚举的(recursivement enumerable),但是不能说它一定是完整的。

不是所有的定理是完整的。比如一个空集合的定理是所有真命题集合,但是不是完整的。假如有命题,对于来说,它既不是永真命题,也不是永假命题,它是一个可满足式的命题,也就是说。因此,所以我们说不是完整的。 一个定理称作是稳健的(Consistante),当且仅当。我们说对所有的解释(Interpretation)是一个定理,并且既是稳健的又是完整的。

参考文献

参见

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
定理
Listen to this article