对数微分法

对数微分法（英语：Logarithmic differentiation）是在微积分学中，通过求某函数f的对数导数（英语：Logarithmic derivative）来求得函数导数的一种方法， ^[1]

${\displaystyle [\ln(f)]'={\frac {f'}{f}}\quad \rightarrow \quad f'=f\cdot [\ln(f)]'.}$

这一方法常在函数对数求导比对函数本身求导更容易时使用，这样的函数通常是几项的积，取对数之后，可以把函数变成容易求导的几项的和。这一方法对幂函数形式的函数也很有用。对数微分法依赖于链式法则和对数的性质（尤其是自然对数），把积变为求和，把商变为做差^[2][3]。这一方法可以应用于所有恒不为0的可微函数。

概述

对于某函数

${\displaystyle y=f(x)\,\!}$

运用对数微分法，通常对函数两边取绝对值后取自然对数^[4]。

${\displaystyle \ln |y|=\ln |f(x)|\,\!}$

运用隐式微分法^[5]，可得

${\displaystyle {\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}}$

两边同乘以y，则方程左边只剩下dy/dx：

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y\times {\frac {f'(x)}{f(x)}}=f'(x).}$

对数微分法有用，是因为对数的性质可以大大简化复杂函数的微分^[6]，常用的对数性质有：^[3]

${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\qquad \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b),\qquad \ln(a^{n})=n\ln(a)}$

通用公式

有一如下形式的函数，

${\displaystyle f(x)=\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}.}$

两边取自然对数，得

${\displaystyle \ln(f(x))=\sum _{i}\alpha _{i}(x)\cdot \ln(f_{i}(x)),}$

两边对x求导，得

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=\sum _{i}\left[\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right].}$

两边同乘以${\displaystyle f(x)}$，可得原函数的导数为

${\displaystyle f'(x)=\overbrace {\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}} ^{f(x)}\times \overbrace {\sum _{i}\left\{\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right\}} ^{[\ln(f(x))]'}}$

应用

积函数

对如下形式的两个函数的积函数

${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\,\!}$

两边取自然对数，可得如下形式的和函数

${\displaystyle \ln(f(x))=\ln(g(x)h(x))=\ln(g(x))+\ln(h(x))\,\!}$

应用链式法则，两边微分，得

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}}$

整理，可得^[7]

${\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}=g(x)h(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}}$

商函数

对如下形式的两个函数的商函数

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}\,\!}$

两边取自然对数，可得如下形式的差函数

${\displaystyle \ln(f(x))=\ln {\Bigg (}{\frac {g(x)}{h(x)}}{\Bigg )}=\ln(g(x))-\ln(h(x))\,\!}$

应用链式法则，两边求导，得

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}}$

整理，可得

${\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}={\frac {g(x)}{h(x)}}\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}}$

右边通分之后，结果和对${\displaystyle f(x)}$运用除法定则所得结果相同。

复合指数函数

对于如下形式的函数

${\displaystyle f(x)=g(x)^{h(x)}\,\!}$

两边取自然对数，可得如下形式的积函数

${\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)\ln(g(x))\,\!}$

应用链式法则，两边求导，得

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}}$

整理，得

${\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}{\Bigg \}}=g(x)^{h(x)}\times {\Bigg \{}h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}{\Bigg \}}.}$

与将函数f看做指数函数，直接运用链式法则所得结果相同。

参见

• 数学主题

• 对数恒等式

参考文献

1. Krantz, Steven G. Calculus demystified. McGraw-Hill Professional. 2003: 170. ISBN 0-07-139308-0.
2. N.P. Bali. Golden Differential Calculus. Firewall Media. 2005: 282. ISBN 81-7008-152-1.
3. Bird, John. Higher Engineering Mathematics. Newnes. 2006: 324. ISBN 0-7506-8152-7.
4. Dowling, Edward T. Schaum's Outline of Theory and Problems of Calculus for Business, Economics, and the Social Sciences. McGraw-Hill Professional. 1990: 160. ISBN 0-07-017673-6.
5. Hirst, Keith. Calculus of One Variable. Birkhäuser. 2006: 97. ISBN 1-85233-940-3.
6. Blank, Brian E. Calculus, single variable. Springer. 2006: 457. ISBN 1-931914-59-1.
7. Williamson, Benjamin. An Elementary Treatise on the Differential Calculus. BiblioBazaar, LLC. 2008: 25–26. ISBN 0-559-47577-2.

外部链接

• 网易公开课：对数微分法. 网易. [2014-11-26]. （原始内容存档于2020-01-07）.
• 对数之微分法（高中文理科）. Youtube. [2014-11-26]. （原始内容存档于2016-03-14）.
• Differentiation by taking logarithms – Teach yourself. mathcentre.ac.uk. [2012-01-03]. （原始内容存档于2020-10-26）.
• Logarithmic differentiation. [2009-03-10]. （原始内容存档于2020-11-27）.
• Calculus I – Logarithmic differentiation. [2009-03-10]. （原始内容存档于2021-01-03）.