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在数学中,弱微分(Weak Derivative)是一个函数的微分(强微分)概念的推广,它可以作用于那些勒贝格可积(Lebesgue Integrable)的函数,而不必预设函数的可微性(事实上大部分可以弱微分的函数并不可微)。一个典型的勒贝格可积函数的空间是。在分布中,可以定义一个更一般的微分概念。
命是一个在中的勒贝格可积的函数,称是的一个弱微分,如果
其中是任意一个连续可微的函数,并且满足。
推广到维的情形,如果和是中的函数(在某个开集中局部可积),并且是一个多重指标,那么称为的次弱微分,如果
其中是一个任意给定的函数,即给定的支撑集含于的无穷可微的函数。
如果的弱微分存在,一般被记为。可以证明,一个函数的弱微分在测度意义是唯一的,即如果有两个不同的弱微分,其仅可能在一个零测集上存在差异。
函数 在 并不可微,但具有以下被称为符号函数的弱微分:
如果两个函数是相同函数的弱导数,那么它们除了在一个勒贝格测度为零的集合上以外相等,也就是说,它们几乎处处相等。如果我们考虑函数的等价类,其中两个函数是等价的如果它们几乎处处相等,那么弱导数是唯一的。
此外,如果u是可微的,那么它的弱导数与导数相同。因此弱导数是导数的推广。更进一步,两个函数的和与积的导数公式对弱导数也是成立的。
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