柯西判别法

柯西判别法是判断一个实级数或数列收敛的方法。

无穷级数
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
无穷级数
审敛法 项测试 · 比较审敛法 · 极限比较审敛法 ·根值审敛法 · 比值审敛法 · 柯西判别法 · 柯西并项判别法 · 拉比判别法 · 高斯判别法 · 积分判别法 · 魏尔施特拉斯判别法 · 贝特朗判别法 · 狄利克雷判别法 · 阿贝尔判别法 · 库默尔判别法 · 斯托尔兹—切萨罗定理 · 迪尼判别法 级数 调和级数 · 调和级数 · 幂级数 · 泰勒级数 · 傅里叶级数
查 论 编

级数${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$收敛，若且唯若对于实数${\displaystyle \epsilon >0}$，存在正整数${\displaystyle N}$使得对于任何${\displaystyle n>N}$及${\displaystyle p\geq 1}$，${\displaystyle |\sum _{i=n+1}^{n+p}a_{i}|<\epsilon }$。^[1]

另一个说法是： 数列${\displaystyle A_{i}}$收敛若且唯若对于任何实数${\displaystyle \epsilon >0}$，存在正整数N使得对于任何${\displaystyle i,j>N}$，${\displaystyle |A_{i}-A_{j}|<\epsilon }$。

参考

1. （英文）Abbott, Stephen (2001). Understanding Analysis, p.63. Springer, New York. ISBN 9781441928665