旧量子论(英语:Old quantum theory)是一些比现代量子力学还早期,出现于1900年至1925年之间的量子理论。虽然并不很完整或一致,这些启发式理论是对于经典力学所做的最初始的量子修正[1]。旧量子论最亮丽辉煌的贡献无疑应属波耳模型。自从夫朗和斐于1814年发现了太阳光谱的谱线之后,经过近百年的努力,物理学家仍旧无法找到一个合理的解释。而波耳的模型居然能以简单的算术公式,准确地计算出氢原子的谱线。这惊人的结果给予了科学家无比的鼓励和振奋,他们的确是朝著正确的方向前进。很多年轻有为的物理学家,都开始研究量子方面的物理。因为,可以得到很多珍贵的结果。
直到今天,旧量子论仍旧有声有色地存在著。它已经转变成一种半古典近似方法,称为WKB近似。许多物理学家时常会使用WKB近似来解析一些极困难的量子问题。在1970年代和1980年代,物理学家马丁·古茨威勒(Martin Gutzwiller)发现了怎样半经典地解析混沌理论之后[2][3],这研究领域又变得非常热门。(参阅量子混沌理论 (quantum chaos))。
旧量子论的基本原理谈到原子系统的运动是量子化的,离散的。原子系统遵守经典力学;但不是每一种运动都合法,只有那些遵守旧量子条件的运动是合法的:
- ;
其中,是动量,是对应的坐标,是整数的量子数,是普朗克常数。
旧量子条件又称为威尔森-索末菲量子化定则,是由威尔森[4]和索末菲[5]各自发现的。旧量子条件公式的闭路积分取于整个运动的一周期,是相空间的面积,称为作用量。由于在这里,作用量被量子化为以普朗克常数为单位的整数,因此,普朗克常数时常被称为作用量的量子。
为了要符合旧量子条件,经典运动必须是可分的,意思是说,运动方程式可以分为几个独立部份,每一个独立部份都包含了一个不同的坐标,而每一个坐标的方程式部份所描述的运动都是周期性的。不同部份描述的运动不一定会有同样的周期,它们的周期甚至是互相不可通约的。可是,整个系统必须有一组可分的坐标,每一个坐标的方程式部份都分别描述一个周期性的运动。
使用旧量子条件的动机,一个是对应原理,还有一个就是量子化的物理量必须是缓渐不变量的实际物理观察。例如,给予谐振子的普朗克量子化定律,这两个条件中,任意一个条件决定了量子化一个一般系统的正确经典物理量。
在旧量子论里,最简单的系统,谐振子系统,其哈密顿量是
- ;
其中,是动量,是质量,是角频率,是坐标。
哈密顿量的等位集是椭圆形轨道。哈密顿量等于能量。旧量子条件要求轨道在相空间所围入的区域面积必须是普朗克常数乘以整数倍数。因此,
- ;
其中,、分别是椭圆的半轴。
所以,依照威尔森-索末菲量子化定则能量是
- ;
其中,是约化普朗克常数。
这众所皆知的量子化能量结果,时常用来建立其它旧量子条件。
通过平均每一个离散态的能量,假设处于的离散态的机率是波兹曼分布 (Boltzmann distribution),量子化谐振子的热性质可以用方程式表达为
- ;
其中,是谐振子的总数,是系统的热能量,是波兹曼常数。
由于每一个谐振子的自由度是3,所以热能量方程式有一个系数。从上述公式,可以计算出谐振子的比热:
- 。
上述这两个方程式就是爱因斯坦模型的主要结果。当温度超高,的时候,热能量和比热分别近似为
- 、
- 。
对于一个拥有个谐振子的三维振动系统,这结果与经典的能量均分定理结果相符合。取能量量子趋向0的经典极限,,则在任意温度,这结果都正确。
当超低,的时候,系统非常冷,谐振子的热能量会以指数函数趋向零,比热的物理行为也一样。在1900年前后,很多气体、液体、固体的比热实验都得到了这非经典结果,证明了理论的正确性。
做实验测量,在低温时,固体的比热较低。温度越接近绝对零度,比热就越接近零。通过研究和观察热力学第三定律的内容,可以推断,对于所有物质,这句话都成立。早在十九世纪,詹姆斯·麦克斯韦尖锐的观察力就发觉到这经典力学与冷材料比热之间的矛盾。但是,研究物质原子理论的物理学家都被这谜团深深地困惑。1906年,为了解答这难题,阿尔伯特·爱因斯坦建议原子的运动是量子化的。他首先将量子理论应用于一个力学系统。不久之后,彼得·德拜应用量子化谐振子和其各种频率,给出一个固体比热的数量理论(参阅爱因斯坦模型和德拜模型)。
一维问题的解析相当容易。给予任意能量,从能量守恒定律,可以计算出粒子的动量:
- ;
其中,是坐标为的地点的位势。
转向点是粒子动量消失的位置。在经典转向点之间,将这动量的公式积分于所有的可能值,再加入旧量子条件,就可以得到旧量子条件的方程式。
假设,这问题是盒中粒子问题。则旧量子条件方程式为
- ;
其中,是正整数,是盒子的长度。
那么,容许的动量是
- ,
容许的离散能级是
- 。
再举一个简单的一维案例。一个位于正半直线的线性位势,在位置有一个无限大的位势墙,在区域,位势与坐标成正比。使用量子力学正规理论的方法来解析是一个相当困难的工作;使用半经典方法,虽然解答不是解析解,而是近似解,但量子数越高,这解答越准确。不失去线性的一般性,可以将位势表达为
- ;
其中,是一个常数。
那么,作用于粒子的力量是
- 。
旧量子条件是
- 。
经过一番运算,可以得到
- 。
所以,能级是
- 。
在一根长度为的无质量刚杆的一端,连结著一个质量为的粒子,称这连结体为旋转子。假设,刚杆的另外一端固定于一个固定点,则旋转子可以绕著这固定点作旋转运动。采用极坐标系,这旋转子的旋转运动的拉格朗日量是
- ;
其中,是角坐标。
角坐标的共轭动量是
- 。
旧量子条件要求的周期、,两个物理量的乘积为普朗克常数乘以整数倍数:
- 。
也就是说,角动量是约化普朗克常数的整数倍数。将这旧量子条件带入波耳模型,就可以得到氢原子的能级!
延伸至三维空间,采用球坐标系,旋转子可以用天顶角和方位角来描述。拉格朗日量是
- 。
两个共轭动量分别为
- 、
- 。
由于显性地跟方位角无关,方位角是一个循环坐标。的运动方程式很简单:
- ;
其中,常数是角动量的z-分量。
旧量子条件要求常数的积分,从弧度为至,等于普朗克常数乘以整数倍数。因此,
- 。
整数倍数就是磁量子数。假设在旋转子一端的粒子带有电荷,则角动量的z-分量是旋转子沿著z方向的磁矩。
由于三维的旋转子是绕著一个旋转轴做旋转运动,总角动量的限制应该与二维旋转子的限制相同。两个旧量子条件要求总角动量和其z-分量分别等于约化普朗克常数乘以整数倍数 、。现代量子力学可以复制这两个旧量子条件。但是,在旧量子论时代,这两个旧量子条件指引出一个吊诡:相对一个任意选定的z-轴,怎样将角动量的取向量子化?这动作似乎特别选出了空间中的一个偏爱方向。
关于一个旋转轴的角动量,其量子化称为空间量子化。旋转不变性的概念似乎与空间量子化不相容。现代量子力学也同样地量子化角动量。但是,对于任意取向,明确的角动量离散态是其它取向的量子态的叠加。因此,量子化过程并不会选出一个偏爱的旋转轴。所以,空间量子化这术语不再被使用;而改称为角动量量子化。